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计算机组成原理笔记第六章（6.3~6.5）

标签：计算机组成原理

6.3 定点运算

一、移位运算

1.移位运算的数学意义

左移：绝对值扩大；右移：绝对值缩小。（都是数据相对于小数点移位）在计算机中，移位与加减配合，能够实现乘除运算。

2.算术移位规则

（1）符号位不变

（2）数据位规则如表3.1所示。

表3.1 移位规则

	码制	添加代码
正数	原码、补码、反码	0
负数	原码	0
	补码	左移右侧添0
	补码	右移左侧添1
	反码	1（代表原码里面是0）

例：设机器数字长为 8 位（含１位符号位），写出 A = +26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。

解：A=+26=+11010

则原码、补码、反码均为0,0011010

移位操作	机器数	对应的真值
移位操作	[A]原=[A]补=[A]反	对应的真值
移位前	0,0011010	+26
左移1位	0,0110100（数值最高位丢弃）	+52
左移2位	0,1101000	+104
右移1位	0,0001101	+13
右移2位	0,0000110	+6

例：设机器数字长为 8 位（含１位符号位），写出 A = -26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。

解：A=-26=-11010

则原码为1,0011010，反码为1,1100101，补码为1,1100110

原码结果如下：

移位操作	机器数	对应的真值
移位前	1,0011010	-26
左移1位	1,0110100（数值最高位丢弃）	-52
左移2位	1,1101000	-104
右移1位	1,0001101	-13
右移2位	1,0000110	-6

补码结果如下：

移位操作	机器数	对应的真值
移位前	1,1100110	-26
左移1位	1,1001100（数值最高位丢弃）	-52
左移2位	1,0011000	-104
右移1位	1,1110011	-13
右移2位	1,1111001	-7

反码：

移位操作	机器数	对应的真值
移位前	1,1100101	-26
左移1位	1,1001011（数值最高位丢弃）	-52
左移2位	1,0010111	-104
右移1位	1,1110010	-13
右移2位	1,1111001	-6

3.算术移位的硬件实现

图3.1 算法移位的硬件实现

在移位过程如果1被移掉会怎样：

左移：(a)出错(b)出错(c)正确（丢掉0出错）(d)正确

右移：(a)影响精度(b) 影响精度(c) 影响精度 (d)正确

4.算术移位与逻辑移位的区别

算术移位：有符号数的移位（符号位不动）；逻辑移位，无符号数的移位（符号位也参加移动）

逻辑左移，低位添0，高位移丢；逻辑右移，高位添0，低位移丢。

二、加减法运算

1.补码加减法运算的公式

如图3.2所示。

图3.2 补码加减运算公式

2.溢出的判断

（1）一位符号位判溢出

参加操作的两个数（减法时即为被减数和“求补”以后的减数）符号相同，其结果的符号与原操作数的符号不同，即为溢出。

硬件实现：最高有效位的进位（异或）符号位的进位=1，溢出。

如：

简单说一下，假如原来两个数都是正数，那么符号位是0，如果他们相加，进到符号位了一个1，符号位变成了1，但是符号位不会向上进位，所以符号位进位为0。所以符合有溢出的第1种情况。其它可以如此解释。

（2）两位符号位判溢出

3.补码加减法的硬件配置

[x]补’+[y]补’=[x+y]补’

[x-y]补’=[x]补’+[-y]补’

结果的双符号位相同，未溢出：00,xxxxx/11,xxxxx

结果的双符号位不同，溢出：10,xxxxx/01,xxxxx

最高符号位代表其真正的符号！

3.补码加减法的硬件配置

图3.3 补码加减法的硬件配置

三、乘法运算

1.原码的乘法运算

一些认识：

（1）乘法运算可以用加和移位实现；

（2）由乘数的末位决定被乘数是否与元部分积相加，然后右移1位形成新的部分积，同时乘数左移1位（末位丢弃），空出高位存放部分积的低位；

（3）被乘数只与部分积的高位相加。

（1）原码一位乘运算规则

以小数为例

2.补码的乘法运算

（1）补码一位乘法运算

以小数为例：设备乘数[x]补=x0.x1x2…xn，乘数[y]补=y0.y1y2…yn

①被乘数任意，乘数为正

与原码乘相似，但加和移位按补码规则运算。乘积符号的自然形成

②被乘数任意，乘数为负

乘数[y]补去掉符号位，操作同①。最后加[-x]补，校正。

③Booth算法（被乘数、乘数符号任意）

如图3.4所示。

图3.4 Booth算法

④Booth算法递推公式

图3.5 Booth算法递推公式

整数乘法和小数乘法过程完全相同，可用逗号代替小数点。原码乘，符号位单独处理，补码乘，符号位自然形成。

原码乘去掉符号位运算，即为无符号数乘法。不同的乘法运算需有不同的硬件支持。

四、除法运算

1.笔算除法

心算上商，余数不动低位补“0”，然后减右移一位的除数，上商的位置不固定。

2.笔算除法与机器除法的比较

笔算除法	机器除法
商符单独处理，心算上商	符号位异或形成，\|x\|-\|y\|>0，上商1；否则上商0
余数不动，低位补0，减右移一位的除数。	余数左移一位，低位补零，减除数。
2倍字长加法器，上商位置不固定	1倍字长加法器，在寄存器最末尾上商。

3.原码除法

以小数为例

[x]原=x0.x1x2…xb

[y]原=y0.y1y2…yn

[x/y]原=x0⊕y0·x*/y*

式中，x*=0.x1x2…xn为x的绝对值；y*=0.y1y2…yn为y的绝对值。

商的符号位单独处理：x0⊕y0；数值部分为绝对值相除x*/y*。

约定：小数定点除法x*<y*，整数定点除法x*>y*。被除数不等于0，除数不能为0。

（1）恢复余数法

例6.24 x=-0.1011，y=-0.1101，求[x/y]原，假设机器字长为5位，其中符号位1位，数值位4位。

解：[x]原=1.1011，[y]原=1.1101，[y*]补=0.1101，[-y*]补=1.0011

①x0⊕y0=1⊕1=0

②如下表：

[table id=1 /]

所以x*/y*=0.1101

所以[x/y]原=0.1101

余数为正，上商1；余数为负，上商0，恢复余数。

上商5次（第一次是0），第一次上商判溢出，移4次。

（2）加减交替法

运算规则：

设余数为Ri，

上商“1”：2Ri-y*；上商“0”：2Ri+y*。仍然是余数为正，上商1；余数为负，上商0。

例6.25 x=-0.1011，y=-0.1101，求[x/y]原，假设机器字长为5位，其中符号位1位，数值位4位。

解：[x]原=1.1011，[y]原=1.1101，[x*]补=0.1011，[y*]补=0.1101，[-y*]补=1.0011。

图3.6 例6.25图解

特点：上商n+1次，第一次上商判溢出，移n次，加n+1次，用移位的次数判断除法是否结束。

（3）原码加减交替除法硬件配置

图3.7 硬件配置

6.4 浮点四则运算

一、浮点数的加减运算

我们令x=Sx·2^jx，y= Sy·2^jy

1.对阶

（1）求阶差。如图4.1所示。

图4.1 阶码对齐方案

（2）对阶原则

小阶向大阶看齐。

例如：x=0.1101*2⁰¹，y=(-0.1010)*2¹¹，求x+y。

解：[x]补=00,01;00.1101

由于阶码不相等，所以先需要求阶差。[Δj]补=[jx]补-[jy]补=11,10。所以x要向y看齐。进行对阶：[x]补’=00,11;00.0011

然后进行尾数求和，[Sx]补’+[Sy]补=11.1001。

所以[x+y]补=00,11;11.1001。

3.规格化

（1）规格化数的定义

r=2,1/2<=|S|<1

（2）规格化数的判断

S>0	规格化形式	S<0	规格化形式
真值	0.1XX…X	真值	-0.1XX…X
原码	0.1XX…X	原码	1.1XX…X
补码	0.1XX…X	补码	1.0XX…X
反码	0.1XX…X	反码	1.0XX…X