6.3 定点运算

一、移位运算

1.移位运算的数学意义

左移：绝对值扩大；右移：绝对值缩小。（都是数据相对于小数点移位）在计算机中，移位与加减配合，能够实现乘除运算。

2.算术移位规则

（1）符号位不变

（2）数据位规则如表3.1所示。

表3.1 移位规则

例：设机器数字长为 8 位（含１位符号位），写出 A = +26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。

解：A=+26=+11010

则原码、补码、反码均为0,0011010

例：设机器数字长为 8 位（含１位符号位），写出 A = -26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。

解：A=-26=-11010

则原码为1,0011010，反码为1,1100101，补码为1,1100110

原码结果如下：

补码结果如下：

反码：

3.算术移位的硬件实现

图3.1 算法移位的硬件实现

在移位过程如果1被移掉会怎样：

左移：(a)出错(b)出错(c)正确（丢掉0出错）(d)正确

右移：(a)影响精度(b) 影响精度(c) 影响精度 (d)正确

4.算术移位与逻辑移位的区别

算术移位：有符号数的移位（符号位不动）；逻辑移位，无符号数的移位（符号位也参加移动）

逻辑左移，低位添0，高位移丢；逻辑右移，高位添0，低位移丢。

二、加减法运算

1.补码加减法运算的公式

如图3.2所示。

图3.2 补码加减运算公式

2.溢出的判断

（1）一位符号位判溢出

参加操作的两个数（减法时即为被减数和“求补”以后的减数）符号相同，其结果的符号与原操作数的符号不同，即为溢出。

硬件实现：最高有效位的进位（异或）符号位的进位=1，溢出。

如：

简单说一下，假如原来两个数都是正数，那么符号位是0，如果他们相加，进到符号位了一个1，符号位变成了1，但是符号位不会向上进位，所以符号位进位为0。所以符合有溢出的第1种情况。其它可以如此解释。

（2）两位符号位判溢出

3.补码加减法的硬件配置

[x]补’+[y]补’=[x+y]补’

[x-y]补’=[x]补’+[-y]补’

结果的双符号位相同，未溢出：00,xxxxx/11,xxxxx

结果的双符号位不同，溢出：10,xxxxx/01,xxxxx

最高符号位代表其真正的符号！

3.补码加减法的硬件配置

图3.3 补码加减法的硬件配置

三、乘法运算

1.原码的乘法运算

一些认识：

（1）乘法运算可以用加和移位实现；

（2）由乘数的末位决定被乘数是否与元部分积相加，然后右移1位形成新的部分积，同时乘数左移1位（末位丢弃），空出高位存放部分积的低位；

（3）被乘数只与部分积的高位相加。

（1）原码一位乘运算规则

以小数为例

2.补码的乘法运算

（1）补码一位乘法运算

以小数为例：设备乘数[x]补=x0.x1x2…xn，乘数[y]补=y0.y1y2…yn

①被乘数任意，乘数为正

与原码乘相似，但加和移位按补码规则运算。乘积符号的自然形成

②被乘数任意，乘数为负

乘数[y]补去掉符号位，操作同①。最后加[-x]补，校正。

③Booth算法（被乘数、乘数符号任意）

如图3.4所示。

图3.4 Booth算法

④Booth算法递推公式

图3.5 Booth算法递推公式

整数乘法和小数乘法过程完全相同，可用逗号代替小数点。原码乘，符号位单独处理，补码乘，符号位自然形成。

原码乘去掉符号位运算，即为无符号数乘法。不同的乘法运算需有不同的硬件支持。

四、除法运算

1.笔算除法

心算上商，余数不动低位补“0”，然后减右移一位的除数，上商的位置不固定。

2.笔算除法与机器除法的比较

3.原码除法

以小数为例

[x]原=x0.x1x2…xb

[y]原=y0.y1y2…yn

[x/y]原=x0⊕y0·x*/y*

式中，x*=0.x1x2…xn为x的绝对值；y*=0.y1y2…yn为y的绝对值。

商的符号位单独处理：x0⊕y0；数值部分为绝对值相除x*/y*。

约定：小数定点除法x*<y*，整数定点除法x*>y*。被除数不等于0，除数不能为0。

（1）恢复余数法

例6.24 x=-0.1011，y=-0.1101，求[x/y]原，假设机器字长为5位，其中符号位1位，数值位4位。

解：[x]原=1.1011，[y]原=1.1101，[y*]补=0.1101，[-y*]补=1.0011

①x0⊕y0=1⊕1=0

②如下表：

[table id=1 /]

所以x*/y*=0.1101

所以[x/y]原=0.1101

余数为正，上商1；余数为负，上商0，恢复余数。

上商5次（第一次是0），第一次上商判溢出，移4次。

（2）加减交替法

运算规则：

设余数为Ri，

上商“1”：2Ri-y*；上商“0”：2Ri+y*。仍然是余数为正，上商1；余数为负，上商0。

例6.25 x=-0.1011，y=-0.1101，求[x/y]原，假设机器字长为5位，其中符号位1位，数值位4位。

解：[x]原=1.1011，[y]原=1.1101，[x*]补=0.1011，[y*]补=0.1101，[-y*]补=1.0011。

图3.6 例6.25图解

特点：上商n+1次，第一次上商判溢出，移n次，加n+1次，用移位的次数判断除法是否结束。

（3）原码加减交替除法硬件配置

图3.7 硬件配置

6.4 浮点四则运算

一、浮点数的加减运算

我们令x=Sx·2^jx，y= Sy·2^jy

1.对阶

（1）求阶差。如图4.1所示。

图4.1 阶码对齐方案

（2）对阶原则

小阶向大阶看齐。

例如：x=0.1101*2⁰¹，y=(-0.1010)*2¹¹，求x+y。

解：[x]补=00,01;00.1101

由于阶码不相等，所以先需要求阶差。[Δj]补=[jx]补-[jy]补=11,10。所以x要向y看齐。进行对阶：[x]补’=00,11;00.0011

然后进行尾数求和，[Sx]补’+[Sy]补=11.1001。

所以[x+y]补=00,11;11.1001。

3.规格化

（1）规格化数的定义

r=2,1/2<=|S|<1

（2）规格化数的判断

原码：不论正数、负数，第一数位均为1；补码，符号位和第一数位不同。

特例：

1. S=-1/2=-0.100…0，其原码为1.100…0，补码为1.100…0，所以[-1/2]补不上规格化的数。
2. S=-1，[S]补=1.000…0，所以[-1]补是规格化的数。

（3）左规

尾数左移一位，阶码减1，直到数符和第一数位不同为止。

（4）右规

当尾数溢出（>1）时，需右规。即尾数出现01.XX…X或10.XX…X时。尾数右移1位，阶码加1。

两个整数相加就有可能造成01.XX…X这种方式的溢出。其实0是符号位，1是数值位。

例6.27 x=0.1101*2¹⁰，y=0.1011*2⁰¹。求x+y（除阶符、数符外，阶码取3位，尾数取6位）。

图4.2 例6.27解答

4.舍入

在对阶和右规过程中，可能出现尾数末位丢失，引起误差，需考虑舍入。

（1）0舍1入法；

（2）恒置“1”法。

例6.28 如图4.3所示。

图4.3 例28解答

5.溢出判断（整个浮点数的溢出）

设机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取2位，阶码的数值部分取7位，数符取2位，尾数取n位，则该补码在数轴上的表示为

图4.4 溢出判断

    所谓下溢，就是阶码比-128还小（阶码为10,XX…X），按机器零处理；所谓上溢，就是阶码比127还大（阶码为01,xx…x）。

6.5 算数逻辑单元

一、ALU电路

图5.1 ALU电路

    ALU是一个组合逻辑电路，是没有记忆功能的。为了对输出结果进行保存，要在Ai和Bi还有输出端有寄存器。控制端控制运算方式。例如74181，M=0做算术运算，M=1做逻辑运算。

二、快速进位链

1.并行加法器

图5.2 并行加法器

对于每一个FA，有3个输入（2个输入为加数，1个为仅为信息C）、2个输出（一个是结果Sn，一个是进位信息C）。下面对这个并行加法器做一个分析：

Ci生成和Ai、Bi有关系。若Ai和Bi都为1，则一定会进位，Ai或Bi有一个为1，那么Ci-1的值就会被传送给Ci。所以，di=AiBi称为本地进位；ti=Ai+Bi称为传送条件。则Ci=di+tiCi-1。

2.串行进位链（通常情况下）

进位链就是传送进位的电路。串行进位链就是进位进行串行传送。以4位全加器为例，每一位的进位表达式为如图5.3中式子所示。设与非门的级延迟时间为t_y。

图5.3 串行进位链

    4位全加器产生进位的全部时间为8t_y，n为全加器产生进位的全部时间为2nt_y。

3.并行进位链（先行进位，跳跃进位）

n位加法器的进位同时产生，以4位加法器为例如图5.4所示。

图5.4 并行进位链

（1）单重分组跳跃进位链

n位全加器分若干小组，小组中的进位同时产生，小组与小组之间采用串行进位。以n=16为例。如图5.5所示。

图5.5 单重分组跳跃进位链

（2）双重分组跳跃进位链

n位全加器分若干大足，大足中又包含若干小组。每个大租中小组的最高位进位同时产生。大组和大组之间采用串行进位。

图5.6 双重分组跳跃进位链