6.1 无符号数和有符号数
一、无符号数
寄存器的位数，反映无符号数的表示范围：
8位：0~255；16位：0~65535
二、有符号数
1.机器数与真值
计算机没有硬件来表示小数点，小数点的位置只能通过约定的方式确定。
| 真值（带符号的数） | 机器数（符号数字化的数） | ||
| +0.1011 | 0 | 小数点 | 1011 |
| -0.1011 | 1 | 小数点 | 1011 |
| +1100 | 0 | 1100 | 小数点 |
| -1100 | 1 | 1100 | 小数点 |
2.原码表示法
（1）定义：
整数：[x]原=0,x（当0<=x<2n）2n -x（-2n <x<=0）
小数：[x]原=x（当0<=x<1）1-x（-1 <x<=0）
例：求x=0的原码：
设x=+0.0000，则[+0.0000]原=0.0000；设x=-0.0000，则[-0.0000]原=1.0000
同理，对于整数[+0]原=0,0000，[-0]原=1,0000
故[+0]原≠[-0]原
3.原码的特点：简单、直观
但是用原码作加法，会出现如下问题：
| 要求 | 数1 | 数2 | 实际操作 | 结果符号 |
| 加法 | + | + | 加 | + |
| 加法 | + | – | 减 | -/+ |
| 加法 | – | + | 减 | -/+ |
| 加法 | – | – | 加 | 负 |
能否只作加法？找到一个与负数等价的整数来代替这个负数！
3.补码表示法
结论：
（1）一个负数加上“模”即得该负数的补数；
（2）一个整数和一个负数互为补数时，它们绝对值之和即为模数；
（3）正数的补数即为其本身；
（4）负数的补码=负数的反码+1。
但是补码的定义如下：
[x]补=2n+1+x（负整数），2+x（-1<=x<0(mod 2)）
4.反码表示法
不再累述
5.三种机器数的小结
（1）最高位为符号位，书写上用“,”（整数）或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开；
（2）对于正数，原码=补码=反码；
（3）对于负数，符号位为1，其数值部分原码除符号位外每位取反末位加1得补码，原码除符号位外每位取反得反码。
6.移码表示
补码很难直接判断其真值大小。
（1）移码的定义：
[x]移=2n+x
只有整数形式，没有小数形式。
（2）移码和补码的比较：
补码与移码只差一个符号位。
（3）真值、补码和移码的对照表
如图1.1所示。
图1.1 真值、补码和移码的对照表
（4）移码的特点
①若x=0，则[+0]移=25+0=1,00000（最高位为符号位），[-0]移=25-0=1,00000。所以[+0]移=[-0]移。
②当n=5时，最小的真值为-25=-100000，[-100000]移=25-100000=000000。
可见，最小真值的移码为全0。
用移码表示浮点数的阶码，能方便地判断浮点数阶码的大小。
6.2 数的定点表示和浮点表示
一、定点表示
是指小数点按照约定方式给出。无论是软件还是硬件开发人员，都必须遵循按照约定方式。
有以下两种形式：
1.
| 数符 | 小数点 | 数值部分 |
这说明表示的全为小数，若为补码，则能表示的唯一整数是-1。
| 数符 | 数值部分 | 小数点 |
这说明表示的全为整数。
由此我们可以把定点机分为两类，一类是小数定点机（形式1）和整数定点机（形式2）。
下面来说一下他们用原码、反码和补码表示的时候的范围。
表2.1 定点机的表示范围
|
小数定点机 |
整数定点机 | |
| 原码 | -（1-2-n）~（1-2-n）有2n+1个 | -(2n-1)~ (2n-1) |
| 补码 | -1~（1-2-n） | -(2n)~(2n-1) |
| 反码 | -（1-2-n）~（1-2-n） | -(2n-1)~ (2n-1) |
二、浮点表示（重点）
0.为什么要在计算机引入浮点数表示？
①编程困难，程序员要调节小数点的位置；
②数的表示范围小，为了能表示两个大小相差很大的数据，需要很长的机器字长；
③数据存储单元的利用率往往很低。
如图2.1所示。
图2.1 浮点表示
注意：尾数是小数、可正可负，阶码是整数、可正可负。当r=2尾数中的每一位二进制数就表示了尾数的一位；当r=4，尾数当中的2位二进制数表示了1位四进制尾数。如图中所示，原来数是11.0101，当我们固定小数点，将数字右移两位的时候，表示数字变为了原来的四分之一，所以阶码为10（10是十进制的2,22=4）；当我们只右移1位时，表示数字变为了原来的二分之一，所以阶码为1（1是十进制的1,21=2）；同样，当左移2位的时候，数字变为了原来的四倍，所以阶码为-10,（10是十进制的2,2-2=1/4），剩余一个同理。在计算机中，只有打对号的两个数才能存储，其中第一种小数点后面第1位为1，称为规格化数。
1.浮点数的表示形式
图2.2 浮点数的表示形式
Sf表示浮点数的符号；n表示了浮点数的精度，m表示浮点数的表示范围，jf和m（实际是阶符和阶码）共同标识小数点的书记位置。
2.浮点数的表示范围
图2.3 浮点数的表示范围
上溢：阶码>最大阶码。下溢：阶码<最小阶码，按机器零处理。阶码都用原码来表示。
最小负数和最大正数的绝对值其实是一样的。最大正数的尾数最大为全1，阶码也为全1。这样的情况下，尾数为（1-2n），阶码为2m-1，故如图2.3所示。最大负数，最小正数同理。
实际上我们是由有限的个数表示无限多的实数。
练习：机器数字长为24位，欲表示±3万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取1位外，阶码、尾数各取几位？
因为2的14次方=16384,2的15次方是32768，满足要求。阶码应该在±15。所以定点数15位二进制数可以反映±3万之间的十进制数。因为要保证数的最大精度，所以尾数尽可能的长，所以阶码位数尽可能短，所以阶码是4位。24-4-1（阶符）-1（数符）=18，为尾数的长度。
3.浮点数的规格化形式
为了保证尽可能保证浮点数的精度，所以要对浮点数进行规格化。
若r=2，尾数最高位为1；
若r=4，尾数最高2位不全为0；
若r=8，尾数最高3位不全为0。
基数不同，浮点数的规格化形式不同。
4.浮点数的规格化
表2.1 浮点数的规格化形式
| 基值 | 规格化形式 | 规格化方式 |
| r=2 | 左规 | 尾数左移1位，阶码减1 |
| 右规 | 尾数右移1位，阶码加1 | |
| r=4 | 左规 | 尾数左移2位，阶码减1 |
| 右规 | 尾数右移2位，阶码加2 | |
| r=8 | 左规 | 尾数左移3位，阶码减1 |
| 右规 | 尾数右移3位，阶码加3 |
基数r越大，可表示的浮点数范围越大，基数r越大，浮点数的精度越大。
例如：设m=4，n=10，r=2。尾数规格化的浮点数表示范围：
最大正数：2+1111*0.1111111111=215*(1-2-10)；
最小正数：2-1111*0.1000000000=2-15*2-1=216；
最小负数：-215*(1-2-10)；
最大负数：-2-15*2-1=-216。
三、举例
例6.13：将写成二进制定点数、浮点数及在定点机和浮点机中的机器数形式。其中树枝部分均取10位，数符取1位，浮点数阶码取5位（含1位阶符），尾数规格化。
解：设x=，则二进制形式为0.0010011，定点表示为0.0010011000，因为要求10位，所以补3个零。
浮点规格化表示，因为规格化，所以小数点后第一位必须是1，所以表示为。
定点机中，原码=补码=反码=0.0010011000
浮点机中，[x]原=1, 0010;0.1001100000（第一位的1是阶码，0010是阶符，0.1001100000是尾数）
[x]补=1,1110;0.1001100000
[x]反=1,1101;0.1001100000
例6.14：将 –58 表示成二进制定点数和浮点数，并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数及阶码 为移码、尾数为补码的形式（其他要求同上例）。
解：设x=-58，则写为二进制表示为x=-111010，定点表示为-0000111010，浮点规格化形势为-(0.1110100000*2110)。定点机中，[x]原=1,0000111010，[x]反=1,1111000101，[x]反=1,1111000110。
浮点机中[x]原=0,0110;1.11101000000；[x]补 = 0, 0110; 1. 0001100000；
[x]反 = 0, 0110; 1. 0001011111 [x]阶移、尾补 = 1, 0110; 1. 0001100000
机器零
浮点数尾数为0时，不论其阶码为何值按机器零处理。
当浮点数阶码等于或小于它表示的最小数时，不论尾数为何值，按机器零处理。
总的来说，是以下两种情况：
（1）x,xxxx;0.0000…000
（2）（阶码-16）1,0000;x.xx…xxx
当阶码用移码，尾数用补码表示时，机器零为0,0000;0.00…0
这非常有利于机器中“判0”电路的实现。
四、IEEE 754标准
格式如图2.4所示。
图2.4 IEEE 754标准浮点数示意图
由于尾数为规格化表示，那么最高位一定是1，所以可以把这1位省略掉，这样可以提高精度。如表2.2所示
表2.2 IEEE 754数的类型
| 类型 | 符号位S | 阶码 | 尾数 | 总位数 | 表示范围 |
| 短实数 | 1 | 8 | 23 | 32 | |
| 长实数 | 1 | 11 | 52 | 64 | |
| 临时实数 | 1 | 15 | 64 | 80 |