6.1 无符号数和有符号数

一、无符号数

寄存器的位数，反映无符号数的表示范围：

8位：0~255；16位：0~65535

二、有符号数

1.机器数与真值

计算机没有硬件来表示小数点，小数点的位置只能通过约定的方式确定。

2.原码表示法

（1）定义：

整数：[x]_原=0,x（当0<=x<2ⁿ）2ⁿ -x（-2ⁿ <x<=0）

小数：[x]_原=x（当0<=x<1）1-x（-1 <x<=0）

例：求x=0的原码：

设x=+0.0000，则[+0.0000]_原=0.0000；设x=-0.0000，则[-0.0000]_原=1.0000

同理，对于整数[+0]_原=0,0000，[-0]_原=1,0000

故[+0]_原≠[-0]_原

3.原码的特点：简单、直观

但是用原码作加法，会出现如下问题：

能否只作加法？找到一个与负数等价的整数来代替这个负数！

3.补码表示法

结论：

（1）一个负数加上“模”即得该负数的补数；

（2）一个整数和一个负数互为补数时，它们绝对值之和即为模数；

（3）正数的补数即为其本身；

（4）负数的补码=负数的反码+1。

但是补码的定义如下：

[x]_补=2ⁿ⁺¹+x（负整数），2+x（-1<=x<0(mod 2)）

4.反码表示法

不再累述

5.三种机器数的小结

（1）最高位为符号位，书写上用“,”（整数）或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开；

（2）对于正数，原码=补码=反码；

（3）对于负数，符号位为1，其数值部分原码除符号位外每位取反末位加1得补码，原码除符号位外每位取反得反码。

6.移码表示

补码很难直接判断其真值大小。

（1）移码的定义：

[x]_移=2ⁿ+x

只有整数形式，没有小数形式。

（2）移码和补码的比较：

补码与移码只差一个符号位。

（3）真值、补码和移码的对照表

如图1.1所示。

图1.1 真值、补码和移码的对照表

（4）移码的特点

①若x=0，则[+0]_移=2⁵+0=1,00000（最高位为符号位），[-0]_移=2⁵-0=1,00000。所以[+0]_移=[-0]_移。

②当n=5时，最小的真值为-2⁵=-100000，[-100000]_移=2⁵-100000=000000。

可见，最小真值的移码为全0。

用移码表示浮点数的阶码，能方便地判断浮点数阶码的大小。

6.2 数的定点表示和浮点表示

一、定点表示

是指小数点按照约定方式给出。无论是软件还是硬件开发人员，都必须遵循按照约定方式。

有以下两种形式：

1.

这说明表示的全为小数，若为补码，则能表示的唯一整数是-1。

这说明表示的全为整数。

由此我们可以把定点机分为两类，一类是小数定点机（形式1）和整数定点机（形式2）。

下面来说一下他们用原码、反码和补码表示的时候的范围。

表2.1 定点机的表示范围

二、浮点表示（重点）

0.为什么要在计算机引入浮点数表示？

①编程困难，程序员要调节小数点的位置；

②数的表示范围小，为了能表示两个大小相差很大的数据，需要很长的机器字长；

③数据存储单元的利用率往往很低。

如图2.1所示。

图2.1 浮点表示

    注意：尾数是小数、可正可负，阶码是整数、可正可负。当r=2尾数中的每一位二进制数就表示了尾数的一位；当r=4，尾数当中的2位二进制数表示了1位四进制尾数。如图中所示，原来数是11.0101，当我们固定小数点，将数字右移两位的时候，表示数字变为了原来的四分之一，所以阶码为10（10是十进制的2,2²⁼4）；当我们只右移1位时，表示数字变为了原来的二分之一，所以阶码为1（1是十进制的1,2¹=2）；同样，当左移2位的时候，数字变为了原来的四倍，所以阶码为-10,（10是十进制的2,2^-2=1/4），剩余一个同理。在计算机中，只有打对号的两个数才能存储，其中第一种小数点后面第1位为1，称为规格化数。

1.浮点数的表示形式

图2.2 浮点数的表示形式

S_f表示浮点数的符号；n表示了浮点数的精度，m表示浮点数的表示范围，j_f和m（实际是阶符和阶码）共同标识小数点的书记位置。

2.浮点数的表示范围

图2.3 浮点数的表示范围

上溢：阶码>最大阶码。下溢：阶码<最小阶码，按机器零处理。阶码都用原码来表示。

最小负数和最大正数的绝对值其实是一样的。最大正数的尾数最大为全1，阶码也为全1。这样的情况下，尾数为（1-2ⁿ），阶码为2^m-1，故如图2.3所示。最大负数，最小正数同理。

实际上我们是由有限的个数表示无限多的实数。

练习：机器数字长为24位，欲表示±3万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取1位外，阶码、尾数各取几位？

因为2的14次方=16384,2的15次方是32768，满足要求。阶码应该在±15。所以定点数15位二进制数可以反映±3万之间的十进制数。因为要保证数的最大精度，所以尾数尽可能的长，所以阶码位数尽可能短，所以阶码是4位。24-4-1（阶符）-1（数符）=18，为尾数的长度。

3.浮点数的规格化形式

为了保证尽可能保证浮点数的精度，所以要对浮点数进行规格化。

若r=2，尾数最高位为1；

若r=4，尾数最高2位不全为0；

若r=8，尾数最高3位不全为0。

基数不同，浮点数的规格化形式不同。

4.浮点数的规格化

表2.1 浮点数的规格化形式

基数r越大，可表示的浮点数范围越大，基数r越大，浮点数的精度越大。

例如：设m=4，n=10，r=2。尾数规格化的浮点数表示范围：

最大正数：2⁺¹¹¹¹*0.1111111111=2¹⁵*(1-2^-10)；

最小正数：2^-1111*0.1000000000=2^-15*2^-1=2¹⁶；

最小负数：-2¹⁵*(1-2^-10)；

最大负数：-2^-15*2^-1=-2¹⁶。

三、举例

例6.13：将写成二进制定点数、浮点数及在定点机和浮点机中的机器数形式。其中树枝部分均取10位，数符取1位，浮点数阶码取5位（含1位阶符），尾数规格化。

解：设x=，则二进制形式为0.0010011，定点表示为0.0010011000，因为要求10位，所以补3个零。

浮点规格化表示，因为规格化，所以小数点后第一位必须是1，所以表示为。

定点机中，原码=补码=反码=0.0010011000

浮点机中，[x]原=1, 0010;0.1001100000（第一位的1是阶码，0010是阶符，0.1001100000是尾数）

[x]补=1,1110;0.1001100000

[x]反=1,1101;0.1001100000

例6.14：将 –58 表示成二进制定点数和浮点数，并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数及阶码 为移码、尾数为补码的形式（其他要求同上例）。

解：设x=-58，则写为二进制表示为x=-111010，定点表示为-0000111010，浮点规格化形势为-(0.1110100000*2¹¹⁰)。定点机中，[x]原=1,0000111010，[x]反=1,1111000101，[x]反=1,1111000110。

浮点机中[x]原=0,0110;1.11101000000；[x]补 = 0, 0110; 1. 0001100000；

[x]反 = 0, 0110; 1. 0001011111        [x]阶移、尾补 = 1, 0110; 1. 0001100000

机器零

浮点数尾数为0时，不论其阶码为何值按机器零处理。

当浮点数阶码等于或小于它表示的最小数时，不论尾数为何值，按机器零处理。

总的来说，是以下两种情况：

（1）x,xxxx;0.0000…000

（2）（阶码-16）1,0000;x.xx…xxx

当阶码用移码，尾数用补码表示时，机器零为0,0000;0.00…0

这非常有利于机器中“判0”电路的实现。

四、IEEE 754标准

格式如图2.4所示。

图2.4 IEEE 754标准浮点数示意图

    由于尾数为规格化表示，那么最高位一定是1，所以可以把这1位省略掉，这样可以提高精度。如表2.2所示

表2.2 IEEE 754数的类型