最大堆和最小堆

一、堆树的定义堆树的定义如下：

  1. 堆树是一颗完全二叉树；
  2. 堆树中某个节点的值总是不大于或不小于其孩子节点的值；
  3. 堆树中每个节点的子树都是堆树。当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。 当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。如下图所示，第一个图为最大堆，第二个为最小堆。

二、堆树的操作以最大堆为例进行讲解，最小堆同理。

原始数据为a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7}，采用顺序存储方式，对应的完全二叉树如下图所示：

  1. 构造最大堆在构造堆的基本思想就是：首先将每个叶子节点视为一个堆，再将每个叶子节点与其父节点一起构造成一个包含更多节点的对。所以，在构造堆的时候，首先需要找到最后一个节点的父节点，从这个节点开始构造最大堆；直到该节点前面所有分支节点都处理完毕，这样最大堆就构造完毕了。

假设树的节点个数为n，以1为下标开始编号，直到n结束。对于节点i，其父节点为i/2；左孩子节点为i2，右孩子节点为i2+1。最后一个节点的下标为n，其父节点的下标为n/2。 如下图所示，最后一个节点为7，其父节点为16，从16这个节点开始构造最大堆；构造完毕之后，转移到下一个父节点2，直到所有父节点都构造完毕。

注意：上面构造最大堆的时候，从底而上，一层一层地不断基于父节点构造最大堆，直至到达根节点完成整个最大堆的构造。

  1. 代码如下
//最大堆//=============#include <iostream>using namespace std;struct MaxHeap{ int *heap; //数据元素的存放空间，下标从1开始存放元素，下标0存放临时数据 int HeapSize; //数据元素的个数 int MaxSize; //存放数据元素空间的大小};//初始化最大堆void MaxHeapint(MaxHeap &H) { for (int i = H.HeapSize / 2; i > 0; i--) { H.heap[0] = H.heap[i]; int son = i * 2; while (son <= H.HeapSize) { if (son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son + 1]) son++; if (H.heap[son] < H.heap[0]) break; else { H.heap[son / 2] = H.heap[son]; son *= 2; } } H.heap[son / 2] = H.heap[0]; }}//最大堆中插入节点//思想：先在堆的最后添加一个节点，然后沿着堆树上升。void MaxHeapInsert(MaxHeap &H, int x){ if (H.HeapSize == H.MaxSize) return; int i = ++H.HeapSize; while (i != 1 && x > H.heap[i / 2]) { H.heap[i] = H.heap[i / 2]; i = i / 2; } H.heap[i] = x;}//最大堆堆顶节点删除//思想：将堆树的最后的节点提到根结点，然后删除最大值，然后再把新的根节点放到合适的位置。void MaxHeapDelete(MaxHeap &H , int &top){ int x; if (H.HeapSize == 0) return; top = H.heap[1]; H.heap[0] = H.heap[H.HeapSize--]; int i = 1, son = i * 2; while (son <= H.HeapSize) { if (son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son + 1]) son++; if (H.heap[0] >= H.heap[son]) break; H.heap[i] = H.heap[son]; i = son; son = son * 2; } H.heap[i] = H.heap[0]; return;}int main(void){ int top; int &top_1 = top; MaxHeap H; cout << "请输入数据的size: " << endl; cin >> H.HeapSize; H.heap = new int(H.HeapSize + 1); cout << "请按照完全二叉树输入数据：" << endl; for (int i = 0; i <= H.HeapSize; i++) { cin >> H.heap[i]; //我们这里默认H.heap[0]为临时数据，设为0 } MaxHeapint(H); //将二叉树转换为最大堆 MaxHeapInsert(H, 3); MaxHeapDelete(H, top); for (int i = 1; i <= H.HeapSize; i++) { cout << H.heap[i] << " "; } cout << endl << top; system("pause");}

参考自：https://www.cnblogs.com/zf-blog/p/9010977.html