最大堆和最小堆
一、堆树的定义堆树的定义如下:
- 堆树是一颗完全二叉树;
- 堆树中某个节点的值总是不大于或不小于其孩子节点的值;
- 堆树中每个节点的子树都是堆树。当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。 当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。如下图所示,第一个图为最大堆,第二个为最小堆。
二、堆树的操作以最大堆为例进行讲解,最小堆同理。
原始数据为a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7},采用顺序存储方式,对应的完全二叉树如下图所示:
- 构造最大堆在构造堆的基本思想就是:首先将每个叶子节点视为一个堆,再将每个叶子节点与其父节点一起构造成一个包含更多节点的对。所以,在构造堆的时候,首先需要找到最后一个节点的父节点,从这个节点开始构造最大堆;直到该节点前面所有分支节点都处理完毕,这样最大堆就构造完毕了。
假设树的节点个数为n,以1为下标开始编号,直到n结束。对于节点i,其父节点为i/2;左孩子节点为i2,右孩子节点为i2+1。最后一个节点的下标为n,其父节点的下标为n/2。 如下图所示,最后一个节点为7,其父节点为16,从16这个节点开始构造最大堆;构造完毕之后,转移到下一个父节点2,直到所有父节点都构造完毕。
注意:上面构造最大堆的时候,从底而上,一层一层地不断基于父节点构造最大堆,直至到达根节点完成整个最大堆的构造。
- 代码如下
//最大堆
//=============
#include <iostream>
using namespace std;
struct MaxHeap
{
int *heap; //数据元素的存放空间,下标从1开始存放元素,下标0存放临时数据
int HeapSize; //数据元素的个数
int MaxSize; //存放数据元素空间的大小
};
//初始化最大堆
void MaxHeapint(MaxHeap &H)
{
for (int i = H.HeapSize / 2; i > 0; i--)
{
H.heap[0] = H.heap[i];
int son = i * 2;
while (son <= H.HeapSize)
{
if (son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son + 1])
son++;
if (H.heap[son] < H.heap[0])
break;
else
{
H.heap[son / 2] = H.heap[son];
son *= 2;
}
}
H.heap[son / 2] = H.heap[0];
}
}
//最大堆中插入节点
//思想:先在堆的最后添加一个节点,然后沿着堆树上升。
void MaxHeapInsert(MaxHeap &H, int x)
{
if (H.HeapSize == H.MaxSize)
return;
int i = ++H.HeapSize;
while (i != 1 && x > H.heap[i / 2])
{
H.heap[i] = H.heap[i / 2];
i = i / 2;
}
H.heap[i] = x;
}
//最大堆堆顶节点删除
//思想:将堆树的最后的节点提到根结点,然后删除最大值,然后再把新的根节点放到合适的位置。
void MaxHeapDelete(MaxHeap &H , int &top)
{
int x;
if (H.HeapSize == 0)
return;
top = H.heap[1];
H.heap[0] = H.heap[H.HeapSize--];
int i = 1, son = i * 2;
while (son <= H.HeapSize)
{
if (son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son + 1])
son++;
if (H.heap[0] >= H.heap[son])
break;
H.heap[i] = H.heap[son];
i = son;
son = son * 2;
}
H.heap[i] = H.heap[0];
return;
}
int main(void)
{
int top;
int &top_1 = top;
MaxHeap H;
cout << "请输入数据的size: " << endl;
cin >> H.HeapSize;
H.heap = new int(H.HeapSize + 1);
cout << "请按照完全二叉树输入数据:" << endl;
for (int i = 0; i <= H.HeapSize; i++)
{
cin >> H.heap[i]; //我们这里默认H.heap[0]为临时数据,设为0
}
MaxHeapint(H); //将二叉树转换为最大堆
MaxHeapInsert(H, 3);
MaxHeapDelete(H, top);
for (int i = 1; i <= H.HeapSize; i++)
{
cout << H.heap[i] << " ";
}
cout << endl << top;
system("pause");
}
参考自:https://www.cnblogs.com/zf-blog/p/9010977.html
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