第八讲：图（下）

8.1 最小生成树问题

8.1.1 最小生成树（Minimum Spanning Tree）

如图1所示。

图1

它是一棵树：无回路；|V|个顶点一定有|V|-1条边；

它是生成树：包含全部顶点；|V|-1条边都在图里。在图1中，第2/3/4个图都是图1的生成树，可以看出，生成树中任加一条边都一定构成回路。

最小：边的权重和最小。

显然可以得出，最小生成树存在<->图连通。

8.1.2 贪心算法

贪：每一步都要最好的。好：权重最小的边。

需要约束：只能用图里有的边；只能正好用掉|V|-1条边；不能有回路。

8.1.3 Prim算法（密集图）—让一棵小树长大

如图2所示，我们选择v1作为源节点，选择权重最小的（为1），到v4；然后我们看这个图，权重最小的为2有两个边，分别到v2和v3，我们先选择连到v2，再用v4连接到v3；为了不构成回路，我们需要选择权重为4的由v4到v7的边；再选择权重为1的v6，再选择权重为6的v5。

图2

其伪码描述如下，其中dist[V]=E(s,v)或正无穷，parent[s]=-1：

void&nbsp;Prim(){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;MST={s};&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;while(1){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;V=未收录顶点中dist最小者;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(V不存在)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;break;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;将V收录进MST,dist[V]=0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for(V的每一个邻接点W)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(dist[W]!=0)/*即这个点未被收入*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(E[V,W]&lt;dist[W]){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dist[W]=E[V,W];&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;parent[W]=v;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(MST中收的顶点不到|V|个)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Error(&quot;生成树不存在&quot;);}

void Prim()

{

       MST={s};

       while(1){

              V=未收录顶点中dist最小者;

              if(V不存在)

                     break;

              将V收录进MST,dist[V]=0;

              for(V的每一个邻接点W)

                     if(dist[W]!=0)/*即这个点未被收入*/

                            if(E[V,W]<dist[W]){

                                   dist[W]=E[V,W];

                                   parent[W]=v;

                            }

       if(MST中收的顶点不到|V|个)

              Error("生成树不存在");

}

完整代码：

/*&nbsp;邻接矩阵存储&nbsp;-&nbsp;Prim最小生成树算法&nbsp;*/&nbsp;Vertex&nbsp;FindMinDist(&nbsp;MGraph&nbsp;Graph,&nbsp;WeightType&nbsp;dist[]&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;返回未被收录顶点中dist最小者&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vertex&nbsp;MinV,&nbsp;V;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;WeightType&nbsp;MinDist&nbsp;=&nbsp;INFINITY;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(V=0;&nbsp;V&lt;Graph-&gt;Nv;&nbsp;V++)&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;dist[V]!=0&nbsp;&amp;&amp;&nbsp;dist[V]&lt;MinDist)&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;若V未被收录，且dist[V]更小&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;MinDist&nbsp;=&nbsp;dist[V];&nbsp;/*&nbsp;更新最小距离&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;MinV&nbsp;=&nbsp;V;&nbsp;/*&nbsp;更新对应顶点&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(MinDist&nbsp;&lt;&nbsp;INFINITY)&nbsp;/*&nbsp;若找到最小dist&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;MinV;&nbsp;/*&nbsp;返回对应的顶点下标&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;else&nbsp;return&nbsp;ERROR;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;若这样的顶点不存在，返回-1作为标记&nbsp;*/}&nbsp;int&nbsp;Prim(&nbsp;MGraph&nbsp;Graph,&nbsp;LGraph&nbsp;MST&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;WeightType&nbsp;dist[MaxVertexNum],&nbsp;TotalWeight;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vertex&nbsp;parent[MaxVertexNum],&nbsp;V,&nbsp;W;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;int&nbsp;VCount;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Edge&nbsp;E;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;初始化。默认初始点下标是0&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(V=0;&nbsp;V&lt;Graph-&gt;Nv;&nbsp;V++)&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;这里假设若V到W没有直接的边，则Graph-&gt;G[V][W]定义为INFINITY&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dist[V]&nbsp;=&nbsp;Graph-&gt;G[0][V];&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;parent[V]&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;/*&nbsp;暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;TotalWeight&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;/*&nbsp;初始化权重和&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;VCount&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;初始化收录的顶点数&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;MST&nbsp;=&nbsp;CreateGraph(Graph-&gt;Nv);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;E&nbsp;=&nbsp;(Edge)malloc(&nbsp;sizeof(struct&nbsp;ENode)&nbsp;);&nbsp;/*&nbsp;建立空的边结点&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;将初始点0收录进MST&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dist[0]&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;VCount&nbsp;++;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;parent[0]&nbsp;=&nbsp;-1;&nbsp;/*&nbsp;当前树根是0&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;while&nbsp;(1)&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;V&nbsp;=&nbsp;FindMinDist(&nbsp;Graph,&nbsp;dist&nbsp;);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;V&nbsp;=&nbsp;未被收录顶点中dist最小者&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;V==ERROR&nbsp;)&nbsp;/*&nbsp;若这样的V不存在&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;break;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;算法结束&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;将V及相应的边&lt;parent[V],&nbsp;V&gt;收录进MST&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;E-&gt;V1&nbsp;=&nbsp;parent[V];&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;E-&gt;V2&nbsp;=&nbsp;V;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;E-&gt;Weight&nbsp;=&nbsp;dist[V];&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;InsertEdge(&nbsp;MST,&nbsp;E&nbsp;);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;TotalWeight&nbsp;+=&nbsp;dist[V];&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dist[V]&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;VCount++;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for(&nbsp;W=0;&nbsp;W&lt;Graph-&gt;Nv;&nbsp;W++&nbsp;)&nbsp;/*&nbsp;对图中的每个顶点W&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;dist[W]!=0&nbsp;&amp;&amp;&nbsp;Graph-&gt;G[V][W]&lt;INFINITY&nbsp;)&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;若W是V的邻接点并且未被收录&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;Graph-&gt;G[V][W]&nbsp;&lt;&nbsp;dist[W]&nbsp;)&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;若收录V使得dist[W]变小&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dist[W]&nbsp;=&nbsp;Graph-&gt;G[V][W];&nbsp;/*&nbsp;更新dist[W]&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;parent[W]&nbsp;=&nbsp;V;&nbsp;/*&nbsp;更新树&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;/*&nbsp;while结束*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;VCount&nbsp;&lt;&nbsp;Graph-&gt;Nv&nbsp;)&nbsp;/*&nbsp;MST中收的顶点不到|V|个&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;TotalWeight&nbsp;=&nbsp;ERROR;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;TotalWeight;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记&nbsp;*/}

/* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */

Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] )

{ /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */

    Vertex MinV, V;

    WeightType MinDist = INFINITY;

    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {

        if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) {

            /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */

            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */

            MinV = V; /* 更新对应顶点 */

        }

    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */

        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */

    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */

}

int Prim( MGraph Graph, LGraph MST )

{ /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */

    WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight;

    Vertex parent[MaxVertexNum], V, W;

    int VCount;

    Edge E;

    /* 初始化。默认初始点下标是0 */

       for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {

        /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */

           dist[V] = Graph->G[0][V];

           parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */

    }

    TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */

    VCount = 0;      /* 初始化收录的顶点数 */

    /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */

    MST = CreateGraph(Graph->Nv);

    E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */

    /* 将初始点0收录进MST */

    dist[0] = 0;

    VCount ++;

    parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */

    while (1) {

        V = FindMinDist( Graph, dist );

        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */

        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */

            break;   /* 算法结束 */

        /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */

        E->V1 = parent[V];

        E->V2 = V;

        E->Weight = dist[V];

        InsertEdge( MST, E );

        TotalWeight += dist[V];

        dist[V] = 0;

        VCount++;

        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */

            if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {

            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */

                if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) {

                /* 若收录V使得dist[W]变小 */

                    dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */

                    parent[W] = V; /* 更新树 */

                }

    } /* while结束*/

    if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */

       TotalWeight = ERROR;

    return TotalWeight;   /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */

}

8.1.4 Kruskal算法（稀疏图）—将森林合并成树

寻找权重最短的边，初始的情况下认为每一个顶点都是一棵树，通过不断把边收进来，就把两棵树并成了一棵树，最后把所有节点并成一棵树。

伪码如下：

void&nbsp;Kruskal(Graph&nbsp;G){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;MST&nbsp;=&nbsp;{};&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;while(MST中不到|V-1|条边&amp;&amp;E中还有边){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;从E中去一条权重最小的边E)(V,W);/*最小堆*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;将E(V,W)从E中删除;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(E(V,W)不在MST中构成回路)/*并查集*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;将E(V,W)加入MST;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;else&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;彻底无视E(V,W);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(MST中不到|V|-1条边)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ERROR(&quot;生成树不存在&quot;);}

void Kruskal(Graph G)

{

       MST = {};

       while(MST中不到|V-1|条边&&E中还有边){

              从E中去一条权重最小的边E)(V,W);/*最小堆*/

              将E(V,W)从E中删除;

              if(E(V,W)不在MST中构成回路)/*并查集*/

                     将E(V,W)加入MST;

              else

                     彻底无视E(V,W);

       }

       if(MST中不到|V|-1条边)

              ERROR("生成树不存在");

}

复杂度为T=O(|E|log|E|)

完整代码：

/*&nbsp;邻接表存储&nbsp;-&nbsp;Kruskal最小生成树算法&nbsp;*/&nbsp;/*--------------------&nbsp;顶点并查集定义&nbsp;--------------------*/typedef&nbsp;Vertex&nbsp;ElementType;&nbsp;/*&nbsp;默认元素可以用非负整数表示&nbsp;*/typedef&nbsp;Vertex&nbsp;SetName;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;默认用根结点的下标作为集合名称&nbsp;*/typedef&nbsp;ElementType&nbsp;SetType[MaxVertexNum];&nbsp;/*&nbsp;假设集合元素下标从0开始&nbsp;*/&nbsp;void&nbsp;InitializeVSet(&nbsp;SetType&nbsp;S,&nbsp;int&nbsp;N&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;初始化并查集&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ElementType&nbsp;X;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(&nbsp;X=0;&nbsp;X&lt;N;&nbsp;X++&nbsp;)&nbsp;S[X]&nbsp;=&nbsp;-1;}&nbsp;void&nbsp;Union(&nbsp;SetType&nbsp;S,&nbsp;SetName&nbsp;Root1,&nbsp;SetName&nbsp;Root2&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;保证小集合并入大集合&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;S[Root2]&nbsp;&lt;&nbsp;S[Root1]&nbsp;)&nbsp;{&nbsp;/*&nbsp;如果集合2比较大&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;S[Root2]&nbsp;+=&nbsp;S[Root1];&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;集合1并入集合2&nbsp;&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;S[Root1]&nbsp;=&nbsp;Root2;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;else&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;如果集合1比较大&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;S[Root1]&nbsp;+=&nbsp;S[Root2];&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;集合2并入集合1&nbsp;&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;S[Root2]&nbsp;=&nbsp;Root1;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}&nbsp;SetName&nbsp;Find(&nbsp;SetType&nbsp;S,&nbsp;ElementType&nbsp;X&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;默认集合元素全部初始化为-1&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;S[X]&nbsp;&lt;&nbsp;0&nbsp;)&nbsp;/*&nbsp;找到集合的根&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;X;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;else&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;S[X]&nbsp;=&nbsp;Find(&nbsp;S,&nbsp;S[X]&nbsp;);&nbsp;/*&nbsp;路径压缩&nbsp;*/}&nbsp;bool&nbsp;CheckCycle(&nbsp;SetType&nbsp;VSet,&nbsp;Vertex&nbsp;V1,&nbsp;Vertex&nbsp;V2&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vertex&nbsp;Root1,&nbsp;Root2;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Root1&nbsp;=&nbsp;Find(&nbsp;VSet,&nbsp;V1&nbsp;);&nbsp;/*&nbsp;得到V1所属的连通集名称&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Root2&nbsp;=&nbsp;Find(&nbsp;VSet,&nbsp;V2&nbsp;);&nbsp;/*&nbsp;得到V2所属的连通集名称&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(&nbsp;Root1==Root2&nbsp;)&nbsp;/*&nbsp;若V1和V2已经连通，则该边不能要&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;false;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;else&nbsp;{&nbsp;/*&nbsp;否则该边可以被收集，同时将V1和V2并入同一连通集&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Union(&nbsp;VSet,&nbsp;Root1,&nbsp;Root2&nbsp;);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;true;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}/*--------------------&nbsp;并查集定义结束&nbsp;--------------------*/&nbsp;/*--------------------&nbsp;边的最小堆定义&nbsp;--------------------*/void&nbsp;PercDown(&nbsp;Edge&nbsp;ESet,&nbsp;int&nbsp;p,&nbsp;int&nbsp;N&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;改编代码4.24的PercDown(&nbsp;MaxHeap&nbsp;H,&nbsp;int&nbsp;p&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;将N个元素的边数组中以ESet[p]为根的子堆调整为关于Weight的最小堆&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;int&nbsp;Parent,&nbsp;Child;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;struct&nbsp;ENode&nbsp;X;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;X&nbsp;=&nbsp;ESet[p];&nbsp;/*&nbsp;取出根结点存放的值&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for(&nbsp;Parent=p;&nbsp;(Parent*2+1)&lt;N;&nbsp;Parent=Child&nbsp;)&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Child&nbsp;=&nbsp;Parent&nbsp;*&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;1;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(&nbsp;(Child!=N-1)&nbsp;&amp;&amp;&nbsp;(ESet[Child].Weight&gt;ESet[Child+1].Weight)&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Child++;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;Child指向左右子结点的较小者&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(&nbsp;X.Weight&nbsp;&lt;=&nbsp;ESet[Child].Weight&nbsp;)&nbsp;break;&nbsp;/*&nbsp;找到了合适位置&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;else&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;下滤X&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ESet[Parent]&nbsp;=&nbsp;ESet[Child];&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ESet[Parent]&nbsp;=&nbsp;X;}&nbsp;void&nbsp;InitializeESet(&nbsp;LGraph&nbsp;Graph,&nbsp;Edge&nbsp;ESet&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;将图的边存入数组ESet，并且初始化为最小堆&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vertex&nbsp;V;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;PtrToAdjVNode&nbsp;W;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;int&nbsp;ECount;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;将图的边存入数组ESet&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ECount&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(&nbsp;V=0;&nbsp;V&lt;Graph-&gt;Nv;&nbsp;V++&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(&nbsp;W=Graph-&gt;G[V].FirstEdge;&nbsp;W;&nbsp;W=W-&gt;Next&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;V&nbsp;&lt;&nbsp;W-&gt;AdjV&nbsp;)&nbsp;{&nbsp;/*&nbsp;避免重复录入无向图的边，只收V1&lt;V2的边&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ESet[ECount].V1&nbsp;=&nbsp;V;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ESet[ECount].V2&nbsp;=&nbsp;W-&gt;AdjV;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ESet[ECount++].Weight&nbsp;=&nbsp;W-&gt;Weight;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;初始化为最小堆&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(&nbsp;ECount=Graph-&gt;Ne/2;&nbsp;ECount&gt;=0;&nbsp;ECount--&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;PercDown(&nbsp;ESet,&nbsp;ECount,&nbsp;Graph-&gt;Ne&nbsp;);}&nbsp;int&nbsp;GetEdge(&nbsp;Edge&nbsp;ESet,&nbsp;int&nbsp;CurrentSize&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;给定当前堆的大小CurrentSize，将当前最小边位置弹出并调整堆&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Swap(&nbsp;&amp;ESet[0],&nbsp;&amp;ESet[CurrentSize-1]);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;将剩下的边继续调整成最小堆&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;PercDown(&nbsp;ESet,&nbsp;0,&nbsp;CurrentSize-1&nbsp;);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;CurrentSize-1;&nbsp;/*&nbsp;返回最小边所在位置&nbsp;*/}/*--------------------&nbsp;最小堆定义结束&nbsp;--------------------*/&nbsp;&nbsp;int&nbsp;Kruskal(&nbsp;LGraph&nbsp;Graph,&nbsp;LGraph&nbsp;MST&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;WeightType&nbsp;TotalWeight;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;int&nbsp;ECount,&nbsp;NextEdge;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;SetType&nbsp;VSet;&nbsp;/*&nbsp;顶点数组&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Edge&nbsp;ESet;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;边数组&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;InitializeVSet(&nbsp;VSet,&nbsp;Graph-&gt;Nv&nbsp;);&nbsp;/*&nbsp;初始化顶点并查集&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ESet&nbsp;=&nbsp;(Edge)malloc(&nbsp;sizeof(struct&nbsp;ENode)*Graph-&gt;Ne&nbsp;);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;InitializeESet(&nbsp;Graph,&nbsp;ESet&nbsp;);&nbsp;/*&nbsp;初始化边的最小堆&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;MST&nbsp;=&nbsp;CreateGraph(Graph-&gt;Nv);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;TotalWeight&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;/*&nbsp;初始化权重和&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ECount&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;初始化收录的边数&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;NextEdge&nbsp;=&nbsp;Graph-&gt;Ne;&nbsp;/*&nbsp;原始边集的规模&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;while&nbsp;(&nbsp;ECount&nbsp;&lt;&nbsp;Graph-&gt;Nv-1&nbsp;)&nbsp;{&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;当收集的边不足以构成树时&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;NextEdge&nbsp;=&nbsp;GetEdge(&nbsp;ESet,&nbsp;NextEdge&nbsp;);&nbsp;/*&nbsp;从边集中得到最小边的位置&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(NextEdge&nbsp;&lt;&nbsp;0)&nbsp;/*&nbsp;边集已空&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;break;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;如果该边的加入不构成回路，即两端结点不属于同一连通集&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;CheckCycle(&nbsp;VSet,&nbsp;ESet[NextEdge].V1,&nbsp;ESet[NextEdge].V2&nbsp;)==true&nbsp;)&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;将该边插入MST&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;InsertEdge(&nbsp;MST,&nbsp;ESet+NextEdge&nbsp;);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;TotalWeight&nbsp;+=&nbsp;ESet[NextEdge].Weight;&nbsp;/*&nbsp;累计权重&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ECount++;&nbsp;/*&nbsp;生成树中边数加1&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;ECount&nbsp;&lt;&nbsp;Graph-&gt;Nv-1&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;TotalWeight&nbsp;=&nbsp;-1;&nbsp;/*&nbsp;设置错误标记，表示生成树不存在&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;TotalWeight;}

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/* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 */

/*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/

typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */

typedef Vertex SetName;     /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */

typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */

void InitializeVSet( SetType S, int N )

{ /* 初始化并查集 */

    ElementType X;

    for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1;

}

void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 )

{ /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */

    /* 保证小集合并入大集合 */

    if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */

        S[Root2] += S[Root1];     /* 集合1并入集合2  */

        S[Root1] = Root2;

    }

    else {                         /* 如果集合1比较大 */

        S[Root1] += S[Root2];     /* 集合2并入集合1  */

        S[Root2] = Root1;

    }

SetName Find( SetType S, ElementType X )

{ /* 默认集合元素全部初始化为-1 */

    if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */

        return X;

    else

        return S[X] = Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */

}

bool CheckCycle( SetType VSet, Vertex V1, Vertex V2 )

{ /* 检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路 */

    Vertex Root1, Root2;

    Root1 = Find( VSet, V1 ); /* 得到V1所属的连通集名称 */

    Root2 = Find( VSet, V2 ); /* 得到V2所属的连通集名称 */

    if( Root1==Root2 ) /* 若V1和V2已经连通，则该边不能要 */

        return false;

    else { /* 否则该边可以被收集，同时将V1和V2并入同一连通集 */

        Union( VSet, Root1, Root2 );

        return true;

    }

/*-------------------- 并查集定义结束 --------------------*/

/*-------------------- 边的最小堆定义 --------------------*/

void PercDown( Edge ESet, int p, int N )

{ /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p )    */

  /* 将N个元素的边数组中以ESet[p]为根的子堆调整为关于Weight的最小堆 */

    int Parent, Child;

    struct ENode X;

    X = ESet[p]; /* 取出根结点存放的值 */

    for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) {

        Child = Parent * 2 + 1;

        if( (Child!=N-1) && (ESet[Child].Weight>ESet[Child+1].Weight) )

            Child++;  /* Child指向左右子结点的较小者 */

        if( X.Weight <= ESet[Child].Weight ) break; /* 找到了合适位置 */

        else  /* 下滤X */

            ESet[Parent] = ESet[Child];

    }

    ESet[Parent] = X;

}

void InitializeESet( LGraph Graph, Edge ESet )

{ /* 将图的边存入数组ESet，并且初始化为最小堆 */

    Vertex V;

    PtrToAdjVNode W;

    int ECount;

    /* 将图的边存入数组ESet */

    ECount = 0;

    for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ )

        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )

            if ( V < W->AdjV ) { /* 避免重复录入无向图的边，只收V1<V2的边 */

                ESet[ECount].V1 = V;

                ESet[ECount].V2 = W->AdjV;

                ESet[ECount++].Weight = W->Weight;

            }

    /* 初始化为最小堆 */

    for ( ECount=Graph->Ne/2; ECount>=0; ECount-- )

        PercDown( ESet, ECount, Graph->Ne );

}

int GetEdge( Edge ESet, int CurrentSize )

{ /* 给定当前堆的大小CurrentSize，将当前最小边位置弹出并调整堆 */

    /* 将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换 */

    Swap( &ESet[0], &ESet[CurrentSize-1]);

    /* 将剩下的边继续调整成最小堆 */

    PercDown( ESet, 0, CurrentSize-1 );

    return CurrentSize-1; /* 返回最小边所在位置 */

}

/*-------------------- 最小堆定义结束 --------------------*/

int Kruskal( LGraph Graph, LGraph MST )

{ /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */

    WeightType TotalWeight;

    int ECount, NextEdge;

    SetType VSet; /* 顶点数组 */

    Edge ESet;    /* 边数组 */

    InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */

    ESet = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode)*Graph->Ne );

    InitializeESet( Graph, ESet ); /* 初始化边的最小堆 */

    /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */

    MST = CreateGraph(Graph->Nv);

    TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */

    ECount = 0;      /* 初始化收录的边数 */

    NextEdge = Graph->Ne; /* 原始边集的规模 */

    while ( ECount < Graph->Nv-1 ) {  /* 当收集的边不足以构成树时 */

        NextEdge = GetEdge( ESet, NextEdge ); /* 从边集中得到最小边的位置 */

        if (NextEdge < 0) /* 边集已空 */

            break;

        /* 如果该边的加入不构成回路，即两端结点不属于同一连通集 */

        if ( CheckCycle( VSet, ESet[NextEdge].V1, ESet[NextEdge].V2 )==true ) {

            /* 将该边插入MST */

            InsertEdge( MST, ESet+NextEdge );

            TotalWeight += ESet[NextEdge].Weight; /* 累计权重 */

            ECount++; /* 生成树中边数加1 */

        }

    if ( ECount < Graph->Nv-1 )

        TotalWeight = -1; /* 设置错误标记，表示生成树不存在 */

    return TotalWeight;

}

8.2 拓扑排序

8.2.1 拓扑排序

AOV（Activity On Vertex）网络

如图3所示，是指所有的真实活动是表现在顶点上的，顶点与顶点之间的有向边表现了顶点间的先后顺序。

图3

所谓拓扑序是指：如果图中从V到W有一条有向路径，则V一定排在W之前，满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序。获得一个拓扑序的过程就是拓扑排序。

AOV网络如果有合理（所谓不合理是指，网络形成了一个环，那就代表着V必须在V开始之前结束，自然不合理）的拓扑序，则必定是有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）。

所谓拓扑排序，就是每一次输出没有前序顶点的顶点。

伪码描述如下：

void&nbsp;TopSort(){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for(cnt=0;cnt&lt;|V|;cnt++){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;v&nbsp;=&nbsp;为输出的入度为0的顶点;/*简单粗暴法此步O(|V|)，总为O(|V|2)*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*聪明的算法如下文所述*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(这样的V不存在_{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Error(&quot;图中有回路&quot;);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;break;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;输出V，或者记录V的输出序号;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for(V的每个邻接点W)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Indegree[W]--;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}}

void TopSort()

{

       for(cnt=0;cnt<|V|;cnt++){

              v = 为输出的入度为0的顶点;/*简单粗暴法此步O(|V|)，总为O(|V|2)*/

              /*聪明的算法如下文所述*/

              if(这样的V不存在_{

                     Error("图中有回路");

                     break;

              }

              输出V，或者记录V的输出序号;

              for(V的每个邻接点W)

                     Indegree[W]--;

       }

聪明的算法：随时将入度变为0的顶点放到一个容器（数组、堆栈、队列等都行）中，下一次直接从这里面直接拿数据就可以了。利用队列的新的伪码描述：

void&nbsp;TopSort(){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for(图中每个顶点V){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(Indegree[V]==0)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Enqueue(V,Q);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;while(!IsEmpty(Q){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;V=Dequeue(Q);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;输出V，或者记录V的输出序号;cnt++;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for(V的每个邻接点W)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;{&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(--Indegree[W]==0)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Enqueue(W,Q);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if(cnt!=|V|)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Error(&quot;图中有回路&quot;);}

void TopSort()

{

       for(图中每个顶点V){

              if(Indegree[V]==0)

                     Enqueue(V,Q);

       }

              while(!IsEmpty(Q){

                     V=Dequeue(Q);

                     输出V，或者记录V的输出序号;cnt++;

                     for(V的每个邻接点W)

                     {

                            if(--Indegree[W]==0)

                                   Enqueue(W,Q);

                     }

              if(cnt!=|V|)

                     Error("图中有回路");

}

时间复杂度T=O(|V|+|E|)

完整代码：

/*&nbsp;邻接表存储&nbsp;-&nbsp;拓扑排序算法&nbsp;*/&nbsp;bool&nbsp;TopSort(&nbsp;LGraph&nbsp;Graph,&nbsp;Vertex&nbsp;TopOrder[]&nbsp;){&nbsp;/*&nbsp;对Graph进行拓扑排序,&nbsp;&nbsp;TopOrder[]顺序存储排序后的顶点下标&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;int&nbsp;Indegree[MaxVertexNum],&nbsp;cnt;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vertex&nbsp;V;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;PtrToAdjVNode&nbsp;W;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Queue&nbsp;Q&nbsp;=&nbsp;CreateQueue(&nbsp;Graph-&gt;Nv&nbsp;);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;初始化Indegree[]&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(V=0;&nbsp;V&lt;Graph-&gt;Nv;&nbsp;V++)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Indegree[V]&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;遍历图，得到Indegree[]&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(V=0;&nbsp;V&lt;Graph-&gt;Nv;&nbsp;V++)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(W=Graph-&gt;G[V].FirstEdge;&nbsp;W;&nbsp;W=W-&gt;Next)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Indegree[W-&gt;AdjV]++;&nbsp;/*&nbsp;对有向边&lt;V,&nbsp;W-&gt;AdjV&gt;累计终点的入度&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;将所有入度为0的顶点入列&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(V=0;&nbsp;V&lt;Graph-&gt;Nv;&nbsp;V++)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;Indegree[V]==0&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;AddQ(Q,&nbsp;V);&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;下面进入拓扑排序&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;cnt&nbsp;=&nbsp;0;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;while(&nbsp;!IsEmpty(Q)&nbsp;){&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;V&nbsp;=&nbsp;DeleteQ(Q);&nbsp;/*&nbsp;弹出一个入度为0的顶点&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;TopOrder[cnt++]&nbsp;=&nbsp;V;&nbsp;/*&nbsp;将之存为结果序列的下一个元素&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;/*&nbsp;对V的每个邻接点W-&gt;AdjV&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;for&nbsp;(&nbsp;W=Graph-&gt;G[V].FirstEdge;&nbsp;W;&nbsp;W=W-&gt;Next&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;--Indegree[W-&gt;AdjV]&nbsp;==&nbsp;0&nbsp;)/*&nbsp;若删除V使得W-&gt;AdjV入度为0&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;AddQ(Q,&nbsp;W-&gt;AdjV);&nbsp;/*&nbsp;则该顶点入列&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;}&nbsp;/*&nbsp;while结束*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;if&nbsp;(&nbsp;cnt&nbsp;!=&nbsp;Graph-&gt;Nv&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;false;&nbsp;/*&nbsp;说明图中有回路,&nbsp;返回不成功标志&nbsp;*/&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;else&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;return&nbsp;true;}

/* 邻接表存储 - 拓扑排序算法 */

bool TopSort( LGraph Graph, Vertex TopOrder[] )

{ /* 对Graph进行拓扑排序,  TopOrder[]顺序存储排序后的顶点下标 */

    int Indegree[MaxVertexNum], cnt;

    Vertex V;

    PtrToAdjVNode W;

       Queue Q = CreateQueue( Graph->Nv );

    /* 初始化Indegree[] */

    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)

        Indegree[V] = 0;

    /* 遍历图，得到Indegree[] */

    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)

        for (W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next)

            Indegree[W->AdjV]++; /* 对有向边<V, W->AdjV>累计终点的入度 */

    /* 将所有入度为0的顶点入列 */

    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)

        if ( Indegree[V]==0 )

            AddQ(Q, V);

    /* 下面进入拓扑排序 */

    cnt = 0;

    while( !IsEmpty(Q) ){

        V = DeleteQ(Q); /* 弹出一个入度为0的顶点 */

        TopOrder[cnt++] = V; /* 将之存为结果序列的下一个元素 */

        /* 对V的每个邻接点W->AdjV */

        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )

            if ( --Indegree[W->AdjV] == 0 )/* 若删除V使得W->AdjV入度为0 */

                AddQ(Q, W->AdjV); /* 则该顶点入列 */

    } /* while结束*/

    if ( cnt != Graph->Nv )

        return false; /* 说明图中有回路, 返回不成功标志 */

    else

        return true;

}

8.2.2 关键路径

AOE（Activity On Edge）网络一般用于安排项目的工序。与AOV不同，AOE的活动表示在边上，而节点代表活动到此结束。一般情况下，AOE网络的图示为以下结构：

图4

如图5所示，图中虚线，且权重为0表示的是，要继续执行9/7权重那里，4/5这里必须都得走到了。

图5

问题1：整个工期有多长？

Earliest[0]=0;

Earliest[j]=max(<i,j>∈E){Earliest[i]+C<i,j>}

故Earliest[8]=18

问题2：哪几个组有机动时间（保证工期最长18天）？

方法是设置最后一个最晚完成时间为18天，然后往前推。

注意：虽然7倒推回去5只需要在第10天完工就可以，但是考虑到4必须在第7天完工，而6必须在第16天完工，又由于4、5同时完工才能往下走，所以5的最晚完成时间也必须和4同样，为第7天。

Latest[8]=18;

Latest[i]=(min<i,j>∈E){Latest[j]-C<i,j>}

所谓机动时间就是哪些组可以不用急着赶工

机动时间D<i,j>=Latest[j]-Earliest[i]-C<i,j>

所谓关键路径就是整个流程中最需要关注的地方，哪些步骤是一点也不能耽误的，只要它耽误了，整个流程都要耽误，所以它是绝对不允许延误的活动组成的路径。

数据结构【浙江大学】（第8节）整理

第八讲：图（下）

8.1 最小生成树问题

8.2 拓扑排序

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第八讲：图（下）

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