第九节：排序（上）

9.1 概述

对于之后应用到的一些说明：

（1）void X_Sort(ElementType A[], int N) X为排序名称。

①大多数情况下，为了简单起见，讨论从小到大的整数排序。

②默认N为正整数。

③只讨论基于比较的排序（>=<都是有定义的）。

④只讨论内部排序（一次性可以写入内存，然后只在内存里面的数据排序）。

⑤稳定性：任意两个相等的数据，排序前后的相对位置不发生改变。

没有一种排序是任何情况下都表现最好的！！！

9.2 简单排序算法

9.2.1 冒泡排序

在一次排序完成后，最后面的一定是最大的，第二次排序的时候只需要对前N-1个排序即可，然后N-2……一直到最后完成。

冒泡排序的伪码描述如下：

void Bubble_Sort(ElementType A[], int N)
{
       for(P=N-1;P>=0;P--)
       {
              flag = 0;
              for(i=0;i<P;i++)
              {/*一趟冒泡*/
                     if(A[i]>A[i+1])
                     {
                            Swap(A[i],A[i+1);]
                            flag = 1;/*标志发生了交换*/
                     }
              }
              if(flag==0)
                     break;/*全程无交换，已经排好*/
       }
}

最好情况：顺序T=O(N)；最差情况：逆序T=O(N²)

这个算法具有稳定性！

9.2.2 插入排序

类似于打扑克的时候拿到牌之后进行排序 。

源代码：

void InsertionSort( ElementType A[], int N )
{ /* 插入排序 */
     int P, i;
     ElementType Tmp;
     
     for ( P=1; P<N; P++ ) {
         Tmp = A[P]; /* 取出未排序序列中的第一个元素*/
         for ( i=P; i>0 && A[i-1]>Tmp; i-- )
             A[i] = A[i-1]; /*依次与已排序序列中元素比较并右移*/
         A[i] = Tmp; /* 放进合适的位置 */
     }
}

最好情况：顺序T=O(N)

最坏情况：逆序T=O (N²)

此方法也具有稳定性。

举例，问序列{34,8,64,51,32,21}中用插入排序和冒泡排序分别需要交换多少次？

答：冒泡法：9次；插入法，9次。

    它们的次数相等，是巧合还是必然？见下一节。

9.2.3 时间复杂度下界

1.逆序对

对于下标i<j，如果A[i]>A[j]，则称(i,j)是一对逆序对（inversion）。

我们来看上一节中最后的序列{34,8,64,51,32,21}，它里面有多少逆序对呢？

(34,8)(34,42)(34,21)(64,51)(64,21)(64,21)(51,32)(51,21)(32,21)

一共9个逆序对。这说明，前面两种算法，交换2个相邻元素正好消去1个逆序对！

插入排序时间复杂度：T(N,I)=O(N+I)。这里面N是元素个数，I是逆序对个数。这个可以这样理解，时间复杂度最低为元素个数N，即逆序对为0，也就是顺序排列情况下；然后随着多一个逆序对，复杂度加1。

如果序列基本有序，那么插入排序简单且高效。

2.定理1：任意N个不同元素组成的序列平均具有N(N-1)/4个逆序对。

3.定理2：任何仅以交换相邻两元素来排序的算法，其平均时间复杂度为Ω（N²）。（注意：Ω是下界，O是上界）

    这意味着，要提高算法效率，我们必须：每次消去不止1个逆序对！每次交换相隔较远的2个元素！

9.3 希尔排序

1.简单举例

它利用了插入排序的简单，同时克服了交换每次只交换相邻两个元素的缺点。

用下面这个序列来进行希尔排序的举例：

（1）首先以每5个元素取一个的规律进行排序：这里取了81、35、41。用插入排序对其进行排序：

然后取94、17、75进行插入排序，得到下面的结果：

然后考虑11、95、15，得到下面结果：

然后考虑96、28，得到下面结果：

然后考虑12和58：

（2）再用每3个元素取一个的规律进行排序：这里取35、28、75、58、95，结果如下：

（3）再做1间隔排序（即普通插入排序）。我们可以发现，此时整个序列已经基本有序，所以此时插入排序简单高效。

该算法的步骤：

①.定义增量序列D_M>D_M-1>…>D₁=1

②对每个D_k进行“D_k-间隔”排序。

注意：“D_k-间隔”有序的序列，在执行“D_k-1-间隔”排序后，仍然是“D_k-间隔”有序的。

2.希尔增量序列

（1）原始希尔排序：D_M=[N/2]，D_k=[D_k+1/2]。其中，[]代表取整。

伪代码如下：

void Shell_Sort(ElementType A[], int N)
{
       for(D=N/2;D>0;D/=2)
       {
               for(P=D;P<N;P++)
               {
                      Tmp= A[P];
                      for(i=P;i>=D&&A[i-D]>Tmp;i-=D)
                             A[i]=A[i-D];
                      A[i]=Tmp;
               }
       }
}

最坏情况：T=θ(N²)（θ代表即使上界也是下界，即可以达到的值）

这种情况即，增量元素不互质，则小增量可能根本不起作用。

3.其它增量序列

（1）Hibbard增量序列：D_k=2^k-1（相邻元素互质）。最坏情况：T=θ(N^3/2)，猜想T_avg=O(N^5/4)。

（2）Sedgewick增量序列：{1,5,19,41,109}（9×4ⁱ-9×2ⁱ+1或4ⁱ-3×2ⁱ+1），猜想T_avg=O(N^7/6)，T_worst=O(N^4/3)。

4.稳定性：不稳定。

9.4 堆排序

9.4.1 选择排序

void Selection_Sort(ElementType A[], int N)
{
       for(i=0;i<N;i++)
       {
              MinPosition = ScanForMin(A, i N-1);
              /*从A[i]到A[N-1]中找最小元，并将其位置赋给MinPosition*/
              Swap(A[i], A[MinPosition]);
              /*将未排序部分的最小元换到有序部份的最后位置*/
       }
}

无论如何，T=θ(N²)。

如何快速寻找到最小元？见下一节。

9.4.2 堆排序（选择排序的改进）

1.算法1：

void Heap_Sort ( ElementType A[], int N )
{
       BuildHeap(A); /*调整为最小堆，复杂度为O(N) */
       for ( i=0; i<N; i++ )
              TmpA[i] = DeleteMin(A); /*以此把最小元弹出来放到这个临时数组中*/
/*复杂度为O(logN) */
       for ( i=0; i<N; i++ )/* O(N) */
              A[i] = TmpA[i];/*把临时数组的数组返回原来的数组*/
}

时间复杂度：T(N)=O(NlogN)

缺点：需要额外O(N)空间，并且复制元素需要时间。

2.算法2：

注意，在堆排序里面的这个堆，元素是从0的位置开始的；原来学堆的时候，0是用来放哨兵的。

    因此，在堆排序中，元素下标从0开始。则对于下标为i的元素，其左、右孩子的下标分别为：2i+1, 2i+2。

    伪码描述如下：

void Heap_Sort ( ElementType A[], int N )
{
       for ( i=N/2-1; i>=0; i-- )/* BuildHeap */
              PercDown( A, i, N );
       for ( i=N-1; i>0; i-- ) {
              Swap( &A[0], &A[i] ); /* DeleteMax */
              PercDown( A, 0, i );
       }
}

定理：堆排序处理N个不同元素的随机排列的平均比较次数是2NlogN-O(Nlog logN)。

注意：虽然堆排序给出最佳平均时间复杂度，但实际效果不如用Sedgewick增量序列的希尔排序。

整体C语言源代码：

void Swap( ElementType *a, ElementType *b )
{
     ElementType t = *a; *a = *b; *b = t;
}
 
void PercDown( ElementType A[], int p, int N )
{ /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p )    */
  /* 将N个元素的数组中以A[p]为根的子堆调整为最大堆 */
    int Parent, Child;
    ElementType X;
 
    X = A[p]; /* 取出根结点存放的值 */
    for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2 + 1;
        if( (Child!=N-1) && (A[Child]<A[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
        if( X >= A[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            A[Parent] = A[Child];
    }
    A[Parent] = X;
}
 
void HeapSort( ElementType A[], int N )
{ /* 堆排序 */
     int i;
      
     for ( i=N/2-1; i>=0; i-- )/* 建立最大堆 */
         PercDown( A, i, N );
     
     for ( i=N-1; i>0; i-- ) {
         /* 删除最大堆顶 */
         Swap( &A[0], &A[i] ); /* 见代码7.1 */
         PercDown( A, 0, i );
     }
}

9.5 归并排序

9.5 1有序子列的归并

1.举例：假设我们有两个有序序列如下：

我们要将它们合并成一个序列并按照顺序排序。我们需要设置三个指针，如图1所示。Aptr指向A序列的第一个元素（1），Bptr指向B序列的第一个元素（2），Cptr指向合并后的第一个元素。这里的指针其实是三个整数，分别存储的三个元素的下标。首先比较Aptr和Bptr指向的元素那个比较小，选择比较小的放入Cptr所代表的下标的那个位置。然后将Aptr加1，Cptr加1，用Bptr所代表的的下标的元素和Aptr所代表的的下标的元素比较，发现Bptr下标的元素（2）小，将2存入Cptr代表下标的元素，即C[Cptr]。然后依次类推。

图1

时间复杂度T(N)=O(N)。

伪代码描述如下：

/* L = 左边起始位置, R = 右边起始位置, RightEnd = 右边终点位置 */
void Merge( ElementType A[], ElementType TmpA[],
            int L, int R, int RightEnd )
{
       LeftEnd = R - 1; /* 左边终点位置。假设左右两列挨着 */
       Tmp = L; /* 存放结果的数组的初始位置 */
       NumElements = RightEnd - L + 1;
       while( L <= LeftEnd && R <= RightEnd )
       {
              if( A[L] <= A[R] )
                     TmpA[Tmp++] = A[L++];
              else TmpA[Tmp++] = A[R++];
       }
       while( L <= LeftEnd ) /* 直接复制左边剩下的 */
              TmpA[Tmp++] = A[L++];
       while( R <= RightEnd ) /*直接复制右边剩下的 */
              TmpA[Tmp++] = A[R++];
       for(i=0;i<NumElements;i++,RightEnd--)
              A[RightEnd] = TmpA[RightEnd];
}

9.5.2递归算法

1.分而治之

如图2所示，该算法是稳定的。

图2

伪码描述如下：

void MSort( ElementType A[], ElementType TmpA[], int L, int RightEnd )
{
       int Center;
       if ( L < RightEnd ) {
              Center = ( L + RightEnd ) / 2;
              MSort( A, TmpA, L, Center );
              MSort( A, TmpA, Center+1, RightEnd );
              Merge( A, TmpA, L, Center+1, RightEnd );
       }
}

    时间复杂度为：T(N)=T(N/2)+T(N/2)+O(N)，即T(N)=O(NlogN)。

2.统一函数接口

为了与前面的函数接口统一，因此我们需要再写一个函数来统一函数接口。其伪码描述如下：

void Merge_sort( ElementType A[], int N )
{
       ElementType *TmpA;
       TmpA = malloc( N * sizeof( ElementType ) );
       if ( TmpA != NULL )
       {
              MSort( A, TmpA, 0, N-1 );
              free( TmpA );
       }
       else Error( “空间不足" );
}

如果只在Merge中声明临时数组，那么两个子函数声明如下：

void Merge( ElementType A[], int L, int R, int RightEnd )

void MSort( ElementType A[], int L, int RightEnd )

    这样也不是不行，但是这样的话，每一次在子函数里面用一次释放一次，增加了时间复杂度，还不如直接在最外层的代码里面定义好。

整体的源代码实现如下：

/* 归并排序 - 递归实现 */
 
/* L = 左边起始位置, R = 右边起始位置, RightEnd = 右边终点位置*/
void Merge( ElementType A[], ElementType TmpA[], int L, int R, int RightEnd )
{ /* 将有序的A[L]~A[R-1]和A[R]~A[RightEnd]归并成一个有序序列 */
     int LeftEnd, NumElements, Tmp;
     int i;
     
     LeftEnd = R - 1; /* 左边终点位置 */
     Tmp = L;         /* 有序序列的起始位置 */
     NumElements = RightEnd - L + 1;
     
     while( L <= LeftEnd && R <= RightEnd ) {
         if ( A[L] <= A[R] )
             TmpA[Tmp++] = A[L++]; /* 将左边元素复制到TmpA */
         else
             TmpA[Tmp++] = A[R++]; /* 将右边元素复制到TmpA */
     }
 
     while( L <= LeftEnd )
         TmpA[Tmp++] = A[L++]; /* 直接复制左边剩下的 */
     while( R <= RightEnd )
         TmpA[Tmp++] = A[R++]; /* 直接复制右边剩下的 */
         
     for( i = 0; i < NumElements; i++, RightEnd -- )
         A[RightEnd] = TmpA[RightEnd]; /* 将有序的TmpA[]复制回A[] */
}
 
void Msort( ElementType A[], ElementType TmpA[], int L, int RightEnd )
{ /* 核心递归排序函数 */
     int Center;
     
     if ( L < RightEnd ) {
          Center = (L+RightEnd) / 2;
          Msort( A, TmpA, L, Center );              /* 递归解决左边 */
          Msort( A, TmpA, Center+1, RightEnd );     /* 递归解决右边 */ 
          Merge( A, TmpA, L, Center+1, RightEnd );  /* 合并两段有序序列 */
     }
}
 
void MergeSort( ElementType A[], int N )
{ /* 归并排序 */
     ElementType *TmpA;
     TmpA = (ElementType *)malloc(N*sizeof(ElementType));
     
     if ( TmpA != NULL ) {
          Msort( A, TmpA, 0, N-1 );
          free( TmpA );
     }
     else printf( "空间不足" );
}

9.5.3 非递归算法

非递归算法的图示如图3所示。

图3

额外空间复杂度是O(N)。我们只需要开一个临时数组就可以了，没必要每次都开一个。

其伪码描述如下：

void Merge_pass( ElementType A[], ElementType TmpA[], int N,int length )
 /* length = 当前有序子列的长度*/
{
       for ( i=0; i <= N–2*length; i += 2*length )
              Merge1( A, TmpA, i, i+length, i+2*length–1 );
       if ( i+length < N ) /* 归并最后2个子列*/
              Merge1( A, TmpA, i, i+length, N–1);
       else /* 最后只剩1个子列*/
       for ( j = i; j < N; j++ ) TmpA[j] = A[j];
}

统一接口如下：

void Merge_sort( ElementType A[], int N )
{
       int length = 1; /* 初始化子序列长度*/
       ElementType *TmpA;
       TmpA = malloc( N * sizeof( ElementType ) );
       if ( TmpA != NULL ) {
              while( length < N ) {
                     Merge_pass( A, TmpA, N, length );
                     length *= 2;
                     Merge_pass( TmpA, A, N, length );
                     length *= 2;
              }
              free( TmpA );
       }
       else Error( “空间不足" );
}

具有稳定性！

缺点是需要额外空间之类的~此方法主要用在外排序。

C语言实现源代码：

/* 归并排序 - 循环实现 */
/* 这里Merge函数在递归版本中给出 */
 
/* length = 当前有序子列的长度*/
void Merge_pass( ElementType A[], ElementType TmpA[], int N, int length )
{ /* 两两归并相邻有序子列 */
     int i, j;
      
     for ( i=0; i <= N-2*length; i += 2*length )
         Merge( A, TmpA, i, i+length, i+2*length-1 );
     if ( i+length < N ) /* 归并最后2个子列*/
         Merge( A, TmpA, i, i+length, N-1);
     else /* 最后只剩1个子列*/
         for ( j = i; j < N; j++ ) TmpA[j] = A[j];
}
 
void Merge_Sort( ElementType A[], int N )
{
     int length;
     ElementType *TmpA;
     
     length = 1; /* 初始化子序列长度*/
     TmpA = malloc( N * sizeof( ElementType ) );
     if ( TmpA != NULL ) {
          while( length < N ) {
              Merge_pass( A, TmpA, N, length );
              length *= 2;
              Merge_pass( TmpA, A, N, length );
              length *= 2;
          }
          free( TmpA );
     }
     else printf( "空间不足" );
}