1. Mini-batch 梯度下降法

对整个训练集进行梯度下降法的时候，我们必须处理整个训练数据集，然后才能进行一步梯度下降，即每一步梯度下降法需要对整个训练集进行一次处理，如果训练数据集很大的时候，处理速度就会非常慢。如果我们每次训练的时候只训练一小部分，则我们的算法速度会执行的更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为Mini-batch。

整个算法的过程如图所示：

图1

接下来对不同size情况下性能进行比较：

（1）batch梯度下降： 

·        对所有m个训练样本执行一次梯度下降，每一次迭代时间较长；

·        Cost function 总是向减小的方向下降。

（2）随机梯度下降： 

·        对每一个训练样本执行一次梯度下降，但是丢失了向量化带来的计算加速；

·        Cost function总体的趋势向最小值的方向下降，但是无法到达全局最小值点，呈现波动的形式。

（3）Mini-batch梯度下降： 

·        选择一个1<size<m 的合适的size进行Mini-batch梯度下降，可以实现快速学习，也应用了向量化带来的好处。

·        Cost function的下降处于前两者之间。

Mini-batch大小选择原则：

（1）如果训练集比较小（≤2000），可以采用batch算法。

（2）训练集比较大（如）时可采用mini-batch。

（3）mini-batch选择应该符合CPU/GPU的性能要求。

2. 指数加权平均

指数加权平均的关键函数：

设当前参数为：θ₁,θ₂,…, θ_t，则：

v_t=βv_t−1+(1−β)θ_t

当β=0.9时，指数加权平均最后的结果如图2中红色线所示；

当β=0.98时，指数加权平均最后的结果如图2中绿色线所示；

当β=0.5时，指数加权平均最后的结果如下图2中黄色线所示。

图2

在计算当前时刻的平均值，只需要前一天的平均值和当前时刻的值，所以在数据量非常大的情况下，指数加权平均在节约计算成本的方面是一种非常有效的方式，可以很大程度上减少计算机资源存储和内存的占用。

指数加权平均的偏差修正

在我们执行指数加权平均的公式时，当β=0.98时，我们得到的并不是图3中的绿色曲线，而是下图中的紫色曲线，其起点比较低。

原因：

v0=0v1=0.98v0+0.02θ1=0.02θ1v2=0.98v1+0.02θ2=0.98×0.02θ1+0.02θ2=0.0196θ1+0.02θ2

如果第一天的值为如40，则得到的v1=0.02×40=8，则得到的值要远小于实际值，后面几天的情况也会由于初值引起的影响，均低于实际均值。

图3

为了解决这个问题，我们可以做以下修正：

使用vt/(1−βt)

在使用偏差修正后我们得到了绿色的曲线，在初始阶段，由于有了偏差修正，所以能够得到比原来图像更好的结果。随着t逐渐增大，βt接近于0，即分母接近于1，所以后面绿色的曲线和紫色的曲线逐渐重合了。

3. 动量（Momentum）梯度下降法

动量梯度下降的基本思想与指数加权平均类似，但是它是计算梯度的指数加权平均数，并利用该梯度来更新权重。

我们在利用动量梯度下降法来最小化函数时，每一次迭代都是一种上下波动，如果无法做好限制，就会出现幅度比较大，这会降低梯度下降进行的速度。

我们希望我们的梯度下降能够在纵轴方向缓慢一点，横轴上速度快一点，这里我们就可以采用动量梯度下降算法就可以实现这个目的。

算法的过程如下所示：

On iteration t:

Compute dw, db on the current mini-batch

vdW= βvdW+1-βdW

vdb = βvdb + 1 -βdb

W = WavdW, b=b-avdb

这里我们用到的超参数有α和β，其中β=0.9。

4. RMSprop

除去上面的动量梯度下降算法，还有一种叫做RMSprop算法可以加快梯度下降，这个算法类似于上面的算法。

该算法计算过程如图4所示。

图4

可以看出来，这个算法确实类似于3中的算法，只不过是在每一步中的dw和db都分别做了平方，然后在最后减去的时候也做了处理。

5. Adam 优化算法

Adam 优化算法就是将 Momentum 和 RMSprop 结合起来形成的一种适用于不同深度学习结构的优化算法。

其算法过程如下所示，在这里借助参考文章里面的书写来表示：

图5

这里面用到的超参数如下：

α：需要调试

β1& β₂：可以调试，但是一般不用调试，β1默认为0.9，β2默认为0.999

ε推荐值为10^-8

6. 学习率衰减

要实现学习率衰减，有以下几种方法：

（1）α=（1/1+decay_rate*epoch_num）·α₀

（2）α=0.95^epoch_num·α₀

（3）α=（k/epoch_num）·α₀

（4）离散下降

7. 局部最优问题

在低维度的情形下，我们可能会想象到一个Cost function 如左图所示，存在一些局部最小值点，在初始化参数的时候，如果初始值选取的不得当，会存在陷入局部最优点的可能性。

但是，实际上如果我们建立一个神经网络，由于维度较高，通常梯度为零的点并不是如左图中的局部最优点，而是右图中的鞍点。

图6

我们这样考虑，假设参数维度为2000。那么，若是局部最优点，则要求在该点所有参数都必须是凹函数的凹点，概率为0.5²⁰⁰⁰，所以概率非常低。故在高维度情况下，梯度为0多位鞍点。

在高维度情况下，若要解决这个问题，可以利用如Adam等算法进行改善。

本笔记基于DEEPLEARNING.AI中Andrew Ng课程笔记整理而成，部分内容参考了http://blog.csdn.net/koala_tree/article/details/78199611内容，在此对其表示感谢~