解析动态规划问题(3)

用动态分析解决0-1背包问题

有n个物品,每个物品的重量为w[i],价值为v[i],购物车容量为W。选若干个物品放入购物车,在不超过容量的前提下使获得的价值最大。

问题分析

(1)分析最优解的结构特征
(2)建立具有最优值的递归式
可以对每个物品依次检查是否放入或者不放入,对于第i个物品的处理状态:用c[i][j]表示前i件物品放入一个容量为j的购物车可以获得的最大价值。

  • 不放入第i件物品,xi=0,装入购物车的价值不增加。那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为j的背包中”,最大价值为c[i-1][j]。
  • 放入第i件物品,xi=1,装入购物车的价值增加vi

那么问题就转化为了“前i-1件物品放入容量为j-w[i]的购物车中”,此时能获得的最大价值就是c[i-1][j-w[i]],再加上放入第i件物品获得的价值v[i]。即c[i-1][j-w[i]]+v[i]。
购物车容量不足,肯定不能放入;购物车容量组,我们要看放入、不放入哪种情况获得的价值更大。
所以,递归函数可以写为:
c[i][j]=c[i-1][j](当j<wi);
c[i][j]=max{c[i-1][j-w[i]]+v[i],c[i-1][j]}(当j>wi

算法设计

(1)确定合适的数据结构
采用一维数组w[i]、v[i]分别记录第i个物品的重量和价值;二维数组用c[i][j]表示前i个物品放入一个容量为j的购物车可以获得的最大价值。
(2)初始化
初始化c[][]数组0行0列为0,其中i=01,2,…,n,j=0,1,2,…,W。
(3)循环阶段

  • 按照递归式计算第1个物品的处理情况,得到c[1][j],j=1,2,…,W;
  • 按照递归式计算第2个物品的处理情况,得到c[2][j],j=1,2,…,W;
  • 以此类推,按照递归式计算第n个物品的处理情况,得到c[n][j],j=1,2,…,W。

(4)构造最优解
c[n][W]就是不超过购物车容量能放入物品的最大价值。如果还想知道具体放入了哪些物品,就需要根据c[][]数组逆向构造最优解,我们可以用一维数组x[i]来存储解向量。

  • 首先i=n,j=W,如果c[i][j]>c[i-1][j],则说明第n个物品放入了购物车,令x[n]=1,j-=w[n];如果c[i][j]≤c[i-1][j],则说明第n个物品没有放入购物车,令x[n]=0.
  • i–,继续查找答案。
  • 直到i=1处理完毕。

图解

假设现在有5个物品,每个物品重量为(2,5,4,2,3),价值为(6,3,5,4,6),购物车容量为10。
c[][]如下表:

c[][] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6
2 0 0 6 6 6 6 6 9 9 9 9
3 0 0 6 6 6 6 11 11 11 11 11
4 0 0 6 6 10 10 11 11 15 15 15
5 0 0 6 6 10 12 12 16 16 17 17

所以最大价值为c[n][W]=17。
首先读取c[5][10]>c[4][10],说明第5个物品装入了购物车,即x[5]=1,然后j=10-w[5]=10-3=7
然后去c[4][7];
c[4][7]=c[3][7],说明第4个物品没有装入购物车,即x[4]=0;
然后去找c[3][7],依次类推。

代码实现

#include <iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 10000
#define M 105
int c[M][maxn];//c[i][j] 表示前i个物品放入容量为j购物车获得的最大价值
int w[M],v[M];//w[i] 表示第i个物品的重量,v[i] 表示第i个物品的价值
int x[M];  //x[i]表示第i个物品是否放入购物车
int main(){
    int i,j,n,W;//n表示n个物品,W表示购物车的容量
    cout << "请输入物品的个数 n:";
    cin >> n;
    cout << "请输入购物车的容量W:";
    cin >> W;
    cout << "请依次输入每个物品的重量w和价值v,用空格分开:";
    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(i=1;i<=n;i++)//初始化第0列为0
        c[i][0]=0;
    for(j=1;j<=W;j++)//初始化第0行为0
        c[0][j]=0;
    for(i=1;i<= n;i++)//计算c[i][j]
        for(j=1;j<=W;j++)
            if(j<w[i])  //当物品的重量大于购物车的容量,则不放此物品
                c[i][j] = c[i-1][j];
            else    //否则比较此物品放与不放是否能使得购物车内的价值最大
                c[i][j] = max(c[i-1][j],c[i-1][j-w[i]] + v[i]);
    cout<<"装入购物车的最大价值为:"<<c[n][W]<<endl;

    //用于测试
    for (i=1; i<=n; i++ )
    {
        for (j=1; j<=W; j++ )
          cout << c[i][j]<<"\t" ;
        cout << endl;
    }
    cout << endl;

    //逆向构造最优解
    j=W;
    for(i=n;i>0;i--)
        if(c[i][j]>c[i-1][j])
        {
            x[i]=1;
            j-=w[i];
        }
        else
            x[i]=0;
    cout<<"装入购物车的物品序号为:";
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(x[i]==1)
           cout<<i<<"  ";
    return 0;
}

算法分析及改进

1.算法复杂度分析
(1)时间复杂度:O(nW)
(2)空间复杂度O(n
W)
2.算法优化改进
使用一个数组dp[]保证第i次循环结束后dp[j]中表示的就是我们定义的c[i][j]。
所以代码如下:

void opt1(int n,int W)
{
     for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=W;j>0;j--)
            if(j>=w[i])  //当物品的重量大于购物车的容量,
            //比较此物品放与不放是否能使得购物车内的价值最大
              dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}

我们可以缩小范围,因为只有当购物车的容量大于等于物品重量的时候才要更新,所以代码如下:

void opt2(int n,int W)
{
     for(i=1;i<= n;i++)
        for(j=W;j>=w[i];j--)
      //当物品的重量大于购物车的容量
 //比较此物品放与不放是否能使得购物车内的价值最大
           dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}

我们还可以再缩小范围,确定搜索的下界bound

void opt3(int n,int W)
{
     int sum[n];//sum[i]表示从1...i的物品重量之和
     sum[0]=0;
     for(i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+w[i];
     for(i=1;i<=n;i++)
     {
         int bound=max(w[i],W-(sum[n]-sum[i-1]));
         //w[i]与剩余容量取最大值,
         //sum[n]-sum[i-1]表示从i...n的物品重量之和
         for(j=W;j>=bound;j--)
            //当物品的重量大于购物车的容量
            //比较此物品放与不放是否能使得购物车内的价值最大
           dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
     }
}

快速定位—最优二叉搜索树(OBST)

问题分析

递归表达式:
c[i][j]=0(j=i-1);
c[i][j]=min{c[i][k-1]+c[k+1][j]}+w[i][j](j≥i)
w[i][j]=qi-1(j=i-1);
w[i][j]=w[i][j-1]+pj+qj

算法设计

(1)确定合适的数据结构
一维数组:p[]、q[]分别表示实结点和虚结点的搜索概率
二维数组:c[i][j]表示最优二叉搜索树T(i,j)的搜索成本,w[i][j]表示最优二叉搜索树T(i,j)中的所有实结点和虚结点的搜索概率之和,s[i][j]表示最优二叉搜索树T(i,j)的根节点序号。
(2)初始化。c[i][i-1]=0.0,w[i][i-1]=q[i-1],其中i=1,2,3,…,n+1。
(3)循环阶段。

  • 按照递归式计算元素规模是1的{si}(j=i)的最优二叉搜索树的搜索成本c[i][j],并记录最优策略,即树根s[i][j],i=1,2,3,..,n。
  • 按照递归式计算元素规模是2的{si,si+1}(j=i)的最优二叉搜索树的搜索成本c[i][j],并记录最优策略,即树根s[i][j],i=1,2,3,..,n-1。
  • 以此类推,直到求出所有元素{s1,s2,…,sn}的最优二叉搜索树的搜索成本c[1][n]和最优策略s[1][n]。

(4)构造最优解。

  • 首先读取s[1][n],令k=s[1][n],输出sk为最优二叉搜索树的根。
  • 判断如果k-1<1,表示虚结点ek-1是sk的左子树;否则,递归求解左子树Construct_Optimal_BST(1,k-1,1)。
  • 判断如果k≥n,表示虚结点ek是sk的右孩子。;否则,输出s[k+1][n]是sk的右孩子,递归求解右子树Construct_Optimal_BST(k+1,n,1)。
w[][] 0 1 2 3 4 5 6
1 0.06 0.18 0.37 0.52 0.59 0.76 1.00
2 0.08 0.27 0.42 0.49 0.66 0.90
3 0.10 0.25 0.32 0.49 0.73
4 0.07 0.14 0.31 0.55
5 0.05 0.22 0.46
6 0.05 0.29
7 0.10
c[][] 0 1 2 3 4 5 6
1 0 0.18 0.55 0.95 1.23 1.76 2.52
2 0 0.27 0.67 0.90 1.38 2.09
3 0 0.25 0.46 0.94 1.48
4 0 0.14 0.45 0.98
5 0 0.22 0.68
6 0 0.29
7 0
s[][] 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 2 2 3 5
2 2 2 3 3 5
3 3 3 3 5
4 4 5 5
5 5 6
6 6
7

代码实现

void Optimal_BST()
{
    for(i=1;i<=n+1;i++)
    {
        c[i][i-1]=0.0;
        w[i][i-1]=q[i-1];
    }
    for(int t=1;t<=n;t++)//t为关键字的规模
        //从下标为i开始的关键字到下标为j的关键字
        for(i=1;i<=n-t+1;i++)
        {
            j=i+t-1;
            w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j];
            c[i][j]=c[i][i-1]+c[i+1][j];//初始化
            s[i][j]=i;//初始化
            //选取i+1到j之间的某个下标的关键字作为
            //从i到j的根,如果组成的树的期望值当前最小
            //则k为从i到j的根节点
            for(k=i+1;k<=j;k++)
            {
                double temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];
                if(temp<c[i][j]&&fabs(temp-c[i][j])>1E-6)
                //C++中浮点数因为精度问题不可以直接比较
                {
                    c[i][j]=temp;
                    s[i][j]=k;//k即为从下标i到j的根节点
                }
            }
            c[i][j]+=w[i][j];
        }
}
void Construct_Optimal_BST(int i,int j,bool flag)
{
    if(flag==0)
    {
        cout<<"S"<<s[i][j]<<" 是根"<<endl;
        flag=1;
    }
    int k=s[i][j];
    //如果左子树是叶子
    if(k-1<i)
    {
        cout<<"e"<<k-1<<" is the left child of "<<"S"<<k<<endl;
    }
    //如果左子树不是叶子
    else
    {
        cout<<"S"<<s[i][k-1]<<" is the left child of "<<"S"<<k<<endl;
        Construct_Optimal_BST(i,k-1,1);
    }
    //如果右子树是叶子
    if(k>=j)
    {
        cout<<"e"<<j<<" is the right child of "<<"S"<<k<<endl;
    }
    //如果右子树不是叶子
    else
    {
        cout<<"S"<<s[k+1][j]<<" is the right child of "<<"S"<<k<<endl;
        Construct_Optimal_BST(k+1,j,1);
    }
}

复杂度分析及改进

时间复杂度为O(n3),空间复杂度为O(n2)。
又可以用四边形不等式优化(后续研究一下)
时间复杂度减少到O(n2)。

void Optimal_BST()
{
    for(i=1;i<=n+1;i++)
    {
        c[i][i-1]=0.0;
        w[i][i-1]=q[i-1];
    }
    for(int t=1;t<=n;t++)//t为关键字的规模
        //从下标为i开始的关键字到下标为j的关键字
        for(i=1;i<=n-t+1;i++)
        {
            j=i+t-1;
            w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j];
            int i1=s[i][j-1]>i?s[i][j-1]:i;
            int j1=s[i+1][j]<j?s[i+1][j]:j;
            c[i][j]=c[i][i1-1]+c[i1+1][j];//初始化
            s[i][j]=i1;//初始化
            //选取i1+1到j1之间的某个下标的关键字
            //作为从i到j的根,如果组成的树的期望值当前
            //最小,则k为从i到j的根节点
            for(k=i1+1;k<=j1;k++)
            {
                double temp=c[i][k-1]+c[k+1][j];
                if(temp<c[i][j]&&fabs(temp-c[i][j])>1E-6)
                //C++中浮点数因为精度问题不可以直接比较
                {
                    c[i][j]=temp;
                    s[i][j]=k;//k即为从下标i到j的根节点
                }
            }
            c[i][j]+=w[i][j];
        }
}
void Construct_Optimal_BST(int i,int j,bool flag)
{
    if(flag==0)
    {
        cout<<"S"<<s[i][j]<<" 是根"<<endl;
        flag=1;
    }
    int k=s[i][j];
    //如果左子树是叶子
    if(k-1<i)
    {
        cout<<"e"<<k-1<<" is the left child of "<<"S"<<k<<endl;
    }
    //如果左子树不是叶子
    else
    {
        cout<<"S"<<s[i][k-1]<<" is the left child of "<<"S"<<k<<endl;
        Construct_Optimal_BST(i,k-1,1);
    }
    //如果右子树是叶子
    if(k>=j)
    {
        cout<<"e"<<j<<" is the right child of "<<"S"<<k<<endl;
    }
    //如果右子树不是叶子
    else
    {
        cout<<"S"<<s[k+1][j]<<" is the right child of "<<"S"<<k<<endl;
        Construct_Optimal_BST(k+1,j,1);
    }
}

动态规划算法总结

动态规划关键总结如下:

  1. 最优子结构判定
    • 做出一个选择。
    • 假定已经知道了哪种选择是最优的。
    • 最优的会产生哪些子问题。
    • 证明原问题的最优解包含其子问题的最优解。
  2. 如何得到最优解递归式
    • 分析原问题最优解和子问题最优解的关系。
    • 考察有多少种选择。
    • 得到最优解递归式。

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