第六节:图(上)

6.1 图

1.关于图

图表示的是“多对多”的关系。它包含:

(1)一组顶点:通常用V(Vertex)表示顶点集合。

(2)一组边:通常用E(Edge)表示边的集合,表示顶点与顶点的关系:

①边是顶点对:(v,w)∈E,其中v,w∈V。这是一个双向的。

②有向边:<v,w>,表示从v指向w的边(单行线)。

③不考虑重边和自回路。

其抽象数据类型为:

类型名称:图(Graph)

数据对象集:一非空的顶点集合Vertex和一个边集合Edge,每条边用对应的一对顶点表示。

操作集:对于任意的图G Î Graph,顶点v、v1和v2   Î ertex,以及任一访问顶点的函数visit(),操作举例:

Graph Create( ):构造并返回一个空图;

void Destroy( Graph G ):释放图G占用的存储空间;

Graph InsertVertex( Graph G, Vertex v   ):返回一个在G中增加了新顶点v的图

Graph InsertEdge( Graph G, Vertex v1,   Vertex v2 ):返回一个在G中增加了新边 (v1, v2) 的图;

Graph DeleteVertex( Graph G, Vertex v   ):删除G中顶点v及其相关边,将结果图返回;

Graph DFS( Graph   G, Vertex v, visit()):在图G中,从顶点v出发进行深度优先遍历;

图的一些分类:

(1)无向图。边(v, w)等同于边(w, v)。用圆括号“()”表示无向边。

(2)有向图(Directed Graphs): 边<v, w>不同于边<w, v>。用尖括号“< >”表示有向边;有向边也称“弧(Arc)”。

(3)简单图(Simple Graphs):没有重边和自回路的图。

(4)邻接点: 如果(v, w)或 < v, w >是图中任意一条边,那么称v和w互为“邻接点(Adjacent Vertices)”。

(5)路径、简单路径、回路、无环图

图G中从vp 到 vq 的路径 = { vp, vi1, vi2, ×××, vin, vq } 使得( vp, vi1 ), ( vi1, vi2 ), ×××, ( vin, vq ) 或 < vp, vi1 >, ×××, < vin, vq > 都属于E( G )。

路径长度:路径中边的数量。

简单路径:vi1, vi2, ×××, vin 都是不同顶点。

回路:起点和终点相同(vp = vq )的路径。

无环图:不存在任何回路的图。

有向无环图:不存在回路的有向图,也称DAG(Directed Acyclic Graph)。

(6)完全图:分为有向完全图(n(n-1)条边)和无向完全图(n(n-1)/2条边)。

(7):与顶点v相关的边数。从该点发出的边数为“出度”,指向该点的边数为“入度”。

(8)稠密图、稀疏图:是否满足 |E| > |V|log2|V|,作为稠密图和稀疏图的分界条件。

(9)权(Cost) 、网络(Network)

(10)图G的子图 G’ : V( G’ ) Í V( G )  &&  E( G’ ) Í E( G )。

(11)无向图的顶点连通、连通图、连通分量:如果无向图从一个顶点vi到另一个顶点vj (i≠j)有路径,则称顶点vi和vj是“连通的(Connected)”;无向图中任意两顶点都是连通的,则称该图是“连通图(Connected Graph)”;无向图的极大连通子图称为“连通分量(Connected Component)”。连通分量的概念包含以下4个要点:子图、连通、极大顶点数、极大边数

(12)有向图的强连通图、连通分量:有向图中任意一对顶点vi vj (i≠j)均既有从vivj的路径,也有从vjvi的路径,则称该有向图是“强连通图(Strongly Connected Graph)”。有向图的极大强连通子图称为“强连通分量(Strongly Connected Component)”。连通分量的概念也包含前面4个要点。

(13)树、生成树:树是图的特例:无环的无向图。

所谓连通图G的“生成树(Spanning Tree)”,是G的包含其全部n 个顶点的一个极小连通子图。它必定包含且仅包含G的n-1条边。

生成树有可能不唯一。

当且仅当G满足下面4个条件之一(完全等价):

① G有n-1条边,且没有环;

② G有n-1条边,且是连通的;

③ G中的每一对顶点有且只有一条路径相连;

④ G是连通的,但删除任何一条边就会使它不连通。

2.表示图——邻接矩阵

邻接矩阵G[N][N]-N个顶点从0到N-1编号。其中G[i][j]=1(若<vi,vj>是G中的边)或0(不是G中的边)。可以看出邻接矩阵有以下特点:

(1)主对角线全为0;

(2)这是一个对称矩阵。

那么,对于无向图来说,怎样可以节省一半空间?

可以用一个长度为N(N+1)/2的1维数组A存储{G00,G10,…,G(n-1)0,…,G(n-1)(n-1)}。则Gij在A中对应的下标是:(i*(i+1)/2+j)。对于网络,只要把G[i][j]的值定义为边<vi,vj>的权重即可。

问题:vi和vj在网络中它们之间没有边该如何表示?

邻接矩阵有以下优点:

(1)直观、简单、好理解;

(2)方便检查任意一对顶点间是否存在边;

(3)方便找任一顶点的所有“邻接点”(有边直接相连的顶点);

(4)方便计算任一顶点的“度”:

对于无向图来说,对应行(列)非0的元素的个数。对于有向图来说,对应行非0元素的个数是“出度”,对应列非0元素的个数是“入度”。

邻接矩阵的缺点:

(1)浪费空间:存稀疏图有大量无效元素。但是对于稠密图(特别是完全图)还是很合算。

(2)浪费时间:统计系数图中一共有多少条边。

3.表示图——邻接表

邻接表:G[N]为指针数组,对应矩阵每行一个链表,只存非0元素。对于图G中的每个顶点vi,将所有邻接于vi的顶点vj链成一个单链表,这个单链表就称为顶点vi的邻接表,再将所有点的邻接表表头放到一个数组中,就构成了图的邻接表。

一定要够稀疏用邻接表才合算!!!!

邻接表的特点:

(1)方便找任一顶点的所有“邻接点”。

(2)节约稀疏图的空间:需要N个头指针+2E个结点。

(3)方便计算任一顶点的“度”:对于无向图来说是如此,对于有向图来说,这只能计算“出度”;需要构造“逆邻接表”(存指向自己的边)来方便计算“入度”。

6.2 图的遍历

1.深度优先搜索(DFS)

代码实现:

    这段代码的意思是,首先我们开始访问,然后每访问一个节点,都将其标记为True,然后开始访问V的邻接点,如果没访问,那就去访问并且置为True,当看到邻接点都是True时,我们原路返回,若发现没访问过的邻接点,立即去访问;如果没有发现,继续原路返回,直到返回到第一个结点。

若由N个顶点,E跳边,时间复杂度是:

(1)用邻接表存储图:O(N+E);

(2)用邻接矩阵,有O(N2)。

2.广度优先搜索(BFS)

相当于层序遍历。

若由N个顶点,E跳边,时间复杂度是:

(1)用邻接表存储图:O(N+E);

(2)用邻接矩阵,有O(N2)。

6.3 图的应用

1.应用实例:拯救007

如图1所示,如何让007通过这一个个结点(鳄鱼),一步一步跳到岸边呢?这里用深度优先算法更为合适。

原来的总体算法(伪代码):

这里的总体算法(伪代码):

DFS部分的伪代码:

6.4 图的建立

1.用邻接矩阵表示图

2.初始化图

3.插入边

4.建立图

(1)输入格式:Nv Ne

     V1 V2 Weight

代码如下:

但是这样来说太麻烦了,如果不要这么麻烦,一个整体的程序(不再需要子程序)可以如下:

    一气呵成。

5.邻接表表示的图结点的结构

邻接表:G[N]为指针数组,对应矩阵每行一个链表,只存非0元素。

6.邻接表表示的图-建立图

(1)初始化一个由VertexNum个顶点但没有边的图

(2)向LGraph中插入边

(3)完整建立LGraph