算法笔记之线性规划网络流问题（1）

线性规划问题

遇到一个线性规划问题，该如何解决呢？
1. 确定决策变量。
2. 确定目标函数。
3. 找出约束条件。
4. 求最优解。

一般线性规划问题可以表示为如下形式。

约束条件为：

• 变量满足约束条件的一组值成为线性规划问题的一个可行解。
• 所有可行解构成的集合成为线性规划的可行区域。
• 使目标函数取得极值的可行解称为最优解。
• 在最优解处目标函数的值成最优值。

线性规划解的情况：
- 有唯一最优解。
- 有无数多个最优解。
- 没有最优解。

线性规划的标准型

标准型如下：

四个要求：

1. 目标函数为最大值（即为max）；
2. 约束条件常数项b_i>=0；
3. 约束条件全部为等式约束；
4. 决策变量x_i非负约束。

线性规划标准型转化方法：

1. 一般线性规划行驶中目标函数如果求最小值，那么令z'=-z，得到最优解后，加负号即可。
2. 右端常数项小于零时，则不等式两边同乘-1，将其变成大于零；同时改变不等号的方向，保证恒等变形。
3. 约束条件为大于与等于约束条件时，则在不等式左侧减去一个新的非负变量将不等式约束改为等式约束。例如2x₁-3x₂≥10，修改为：2x₁-3x₂-x₃=10，x₃>0。
4. 约束条件为小于等于约束时，则在不等式左侧加去一个新的非负变量将不等式约束改为等式约束。
5. 无约束的决策变量x，即可正可负的变量，则引入两个新的非负变量x'和x''，令x-x'-x''，其中x'≥0，x''≥0，将x带入线性规划模型。例如：2x₁-3x₂+x₃=10，x₃无约束，则可以修改为：x₃=x₄-x₅，x₄>0,x₅>0，带入方程得到2x₁-3x₂+x₄-x₅=10，x₄>0,x₅>0。
   注意：引入的新的非负变量称为松弛变量。

单纯形算法图解

基本概念：
- 基本变量：每个约束条件中的系数为正，且只出现在一个约束条件中的变量。
- 非基本变量：除基本变量以外的变量。
- 基本可行解：满足标准形式约束条件的可行解称为基本可行解。
- 检验数：目标函数中非基本变量的技术。

基本定理：
- 最优解判别定理：若目标函数中关于非基本变量的所有系数小于等于0，则当前基本可行解就是最优解。
- 无穷多最优解判别定理：若目标函数中关于费基本变量的所有检验数小于等于0，同时存在某个非基本变量的检验数等于0，则线性规划问题有无穷多个最优解。
- 无界解定理：如果某个检验数c_j大于0，而c_j所对应的列向量的各分量a_1j,a_2j,...,a_mj都小于等于0，则该线性规划问题有无界解。

约束标准型线性规划问题单纯形算法步骤如下：

1. 建立初始单纯形表。找出基本变量和非基本变量，将目标函数由非基本变量表示，建立初始单纯形表。注意：如果目标函数含有基本变量，要通过约束条件方程转换为非基本变量。 还要注意：基本变量的系数要转化为1 ，否则不能按照下面的计算方法。基本变量做行，非基本变量做列，检验数放第一行，常数项放低1列，约束条件中非基本变量的系数作为值，构造初始单纯形表。如下所示：
   

2. 判断是否得到最优解。判别并检查目标函数的所有系数。
   • 如果所有的c_j<=0，则已经获得最优解，算法结束。
   • 若在检验数c_j中，有些为正数，但其中某一正的检验数所对应的列向量的各分量均小于等于0，则线性规划问题无界，算法结束。
   • 若在检验数c_j中，有些为正数且它们对应的列向量中有正的分量，则转到第3步。
3. 选入基变量。选取所有正检验数中最大的一个，记为c_e，其对应的非基本变量为x_e，称为入基变量，x_e对应的列向量[a_1e,a_2e,...,a_me]^T为入基列。在本例中，x₃为入基变量，x₃对应的列向量为入基列，如下所示。

4. 选离基变量、选取“常数列元素/入基列元素”正比值最小者，所对应的基本变量x_k为离基变量。x_k对应的行向量为离基行。在本例中，x₅为离基变量，对应的行向量为离基行。
5. 换基变换。在单纯形表上将入基变量和离基变量互换位置，即在本例中将x₃和x₅交换位置，换基变换后如下所示。

6. 计算新的单纯形表。按照下面的方法计算新的单纯形表，然后转第2步。4个特殊位置如下：
   • 入基列：-原值/交叉位值（不包括交叉位）。
   • 离基行=原值/交叉位值（不包括交叉位）
   • 交叉位=原值取倒数。
   • c₀位：原值+同行入基列元素*同列离基行元素/交叉位值。
   • 一般位置元素=原值-同行入基列元素*同列离基行元素/交叉位值。

7. 判断是否得到最优解，若没有继续第3~6步，直到找到最优解或判定无界解停止。在本例中，再次选定基列变量x₂和离基变量x₁，将他们互换位置，重新计算单纯形表，得到下面的表。

可以看出目标函数的检验数全部都小于0，得到最优解。c₀就是我们要的最优值（11），而最优解是由基本变量对应的常数项组成的，即x₂=4，x₃=5，x₆=11，非基本变量全部置零。以上算法获得的是max z'，而本题要求是min z，所以答案是-11。

工厂最大效益——单纯形算法

题目描述

某食品加工厂有三个车间，第一车间用1个单位的原料N可以加工5个单位的产品A或者2个单位的产品B。产品A若直接出售，价格10元，如果第二车间继续加工，加工费5元，加工后售价19元，产品B直接出售16元，第三车间继续加工加工费4元，然后售价24元。原料N的单位购入价为5元，每工时工资为15元，第一车间加工一个单位N，需要0.05工时，第二个0.1工时，第三个0.08工时，每个月最多得到12000个N，工时最多为1000工时。如何生产，收益最大？

问题分析

假设变量：
x₁：产品A的售出量。
x₂：产品A在第二车间加工后售出量.
x₃：产品B售出量。
x₄：产品B在第三车间加工后售出量。
x₅：第一车间所用原材料数量。

• 第一车间所有原材料费和人工费为：5x₅+0.05×15x₅=5.75x₅（下面计算盈利时，均已除去第一车间的材料和人工费）

• A直接售出，盈利：10x₁。

• A加工后售出，因为有额外加工费、人工费：5+0.1×15=6.5，售价-额外成本=19-6.5=12.5，盈利12.5x₂。
• B直接售出，盈利16x₃。
• B加工后售出，额外费用4+0.08×15=5.2，售价-成本=24-5.2=18.8，盈利18.8x₄。
• 总盈利：z=10x₁+12.5x₂+16x₃+18.8x₄-5.75x₅。
• 所以目标函数和约束条件如下：

完美图解

转化为标准型，目标函数也重新表示：

基本变量为：x₁，x₃，x₆，x₇。
非基本变量：x₂，x₄，x₅。

建立单纯形表如下：

具体图解过程不再重述。

代码实现

全局变量如下：

float kernel[100][100];//存储非单纯形表
char FJL[100] = {};//非基本变量
char JL[100] = {};//基本变量
int n, m, i, j;

代码内容如下：

void print()//输出单纯型表
{
    cout<<endl;
    cout<<"----------单纯形表如下：----------"<<endl;
    cout<<"  ";
    cout<<setw(7)<<"b ";
    for(i=1;i<=m;i++)
       cout<<setw(7)<<"x"<<FJL[i];
    cout<<endl;
    cout<<"c ";
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i>=1)
            cout<<"x"<<JL[i];
        for(j=0;j<=m;j++)
           cout<<setw(7)<<kernel[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
}

void DCXA()
{
    float max1;  //max1用于存放最大的检验数
    float max2;  //max2用于存放最大正检验数对应的基本变量的最大系数
    int e=-1;    //记录入基列
    int k=-1;    //记录离基行
    float min;
    //循环迭代，直到找到问题的解或无解为止
    while(true)
    {
        max1=0;
        min=100000000;
        for(j=1;j<=m;j++)  //找入基列(最大正检验数对应的列)
        {
            if(max1<kernel[0][j])
            {
                max1=kernel[0][j];
                e=j;
            }
        }
        if(max1<=0) //最大值小于等于0，即所有检验数小于等于0，满足获得最优解的条件
        {
           cout<<endl;
           cout<<"获得最优解:"<<kernel[0][0]<< endl;
           print();
           break;
         }
        for(j=1;j<=m;j++)  //判断正检验数对应的列是否都小于等于0，如果是则无界解
        {
            max2=0;
            if(kernel[0][j]>0)
            {
                for(i=1;i<=n;i++) //搜索正检验数对应的列
                  if(max2<kernel[i][j])
                     max2=kernel[i][j];
                if(max2==0)
                {
                   cout<<"解无界"<<endl;
                   return;//退出函数，不能用break，因为它只是退出当前循环
                }
            }
        }
        for(i=1;i<=n;i++) //找离基行(常数列/入基列正比值最小对应的行)
        {
            float temp=kernel[i][0]/kernel[i][e]; //常数项在前,temp=fabs(temp);
            if(temp>0&&temp<min) //找离基变量
            {
               min=temp;
               k=i;
            }
        }
        cout<<"入基变量："<<"x"<<FJL[e]<<" ";
        cout<<"离基变量："<<"x"<<JL[k]<<endl;
       //换基变换(转轴变换)
        char temp=FJL[e];
        FJL[e]=JL[k];
        JL[k]=temp;
        for(i=0;i<=n;i++) //计算除入基列和出基行的所有位置的元素
        {
            if(i!=k)
            {
                for(j=0;j<=m;j++)
                {
                    if(j!=e)
                    {
                        if(i==0&&j==0) //计算特殊位c0,即目标函数的值
                           kernel[i][j]=kernel[i][j]+kernel[i][e]*kernel[k][j]/kernel[k][e];
                        else   //一般位置
                           kernel[i][j]=kernel[i][j]-kernel[i][e]*kernel[k][j]/kernel[k][e];
                    }
                }
            }
        }
        for(i=0;i<=n;i++) //计算特殊位,入基列的元素
        {
            if(i!=k)
                kernel[i][e]=-kernel[i][e]/kernel[k][e];
        }
        for(j=0;j<=m;j++) //计算特殊位,离基行的元素
        {
            if(j!=e)
              kernel[k][j]=kernel[k][j]/kernel[k][e];
        }
        //计算特殊位,交叉位置
        kernel[k][e]=1/kernel[k][e];
        print();
    }
}

复杂度分析

1. 时间复杂度：在输入基本变量和非基本变量中用了n+m循环次数，在输入单纯形表时有nm此循环，打印最优解时有n+nm次的时间打印结果，在寻找入基列和离基行中，最坏情况下有O(n*m)次循环，在循环迭代中最坏情况需要2ⁿ迭代，则时间复杂度为O(2ⁿ)。
2. 空间复杂度：O(1)。