大整数乘法
1.算法原理
如果我们想要计算两个较大的数字相乘的时候，由于计算机硬件限制可能无法计算，因此我们可以将每个乘数用加法和乘法做分解，当分解到每个因子只是一位数的时候，乘法就很简单了，这也是一种分治法。
（1）分解：首先将2个大整数a（n位）、b（m位）分解为两部分：
| ah | al | bh | bl |
然后，
其中ah、al为n/2位，bh、bl为m/2位。两个大整数a、b相乘转换成了4个乘法运算，而乘数的位数变为了原来的一半。
（2）求解子问题。继续分解每个乘法运算，直到分解有一个乘数为1位数时停止分解，进行乘法运算并记录结果。
（3）合并。将计算出的结果相加并回溯，求出最终结果。
2.算法设计
（1）数据结构。将两个大数以字符串的形式输入，然后定义结构体Node，其中s[]数组用于存储大数，注意是倒序存储！（因为乘法加法运算中有可能出现进位，倒序存储时可以让进位存储在数组的末尾）。l表示长度，c表示幂次。两个大叔的初始次幂是0.如下所示：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | char sa[1000]; char sb[1000]; typedef struct _Node { int s[M];//数组，倒序存储大数 int l; int c; }Node, *pNode; |
（2）划分函数。其中，cp()函数用于将一个n位的数分成两个n/2的数并存储，记录它的次幂和长度。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 | void cp(pNode src, pNode des, int st, int l) { //src表示待分解的数的结点，des表示分解后得到的数结点 //st表示从src结点数组中取数的开始位置，l表示取数长度 int i, j; for (i = st, j = 0; i<st + l; i++, j++) { des->s[j] = src->s[i];//从src节点数组中st位置开始取l个数 } des->l = l; des->c = st + src->c;//des次幂等于开始取数的位置加上src次幂。 } |
（3）乘法运算。定义的mul()函数用于将两个数进行相乘，不断进行分解，直到有一个乘数为1位时停止，让这两个数相乘，并记录结果回溯。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 | ma = pa->l/2;//表示a长度的一半 mb = pb->l/2;//表示b长度的一半 if(!ma || !mb)//如果!ma说明ma=0，即a的长度为1，该乘数为1位数，同理对mb也是 { if(!ma)//!ma说明a为1位数，a/b交换，保证a的长度大于b的长度 { temp=pa; pa=pb; pb=temp;//交换后b的长度为1 } ans->c = pa->c +pb->c; w=pb->s[0];//交换后b长度为1，用w记录即可 cc=0;//初始化进位为0 for(i=0;i<pa->;i++) {//把a中的数依次取出与w相乘，记录结果和进位 ans->s[i]=(w*pa->s[i]+cc)%10;//存储相乘结果的个位，十位做进位处理 cc=(w*pa->s[i]+cc)/10;//处理进位 } } if(cc) ans->s[i++]=cc; ans->l=i; |
（4）合并函数
add()函数将分解得到的数进行相加合并。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 | void add(pNode pa, pNode pb, pNode ans) { //程序调用时把a、b的地址传递给pa、pb参数，表示待合并的两个数 //ans记录结果 int i,cc,k,alen,blen,len; int ta,tb; pNode temp; if(pa->c <pb->c)//交换保证a的次幂大 { temp=pa; pa=pb; pb=temp; } ans->c=pb->c;//结果的次幂为两个数中较小数的次幂 cc=0;//初始化进位为0 k=pa->c-pb->c;//k为a左侧需要补零的个数 alen = pa->l + pa->c;//a数加上次幂的总长度 blen = pb->l + pb->c;//b数加上次幂的总长度 if(alen>blen) len=alen; else len=blen; len=len-pb->c;//结果的长度为a/b之中的最大值减去最低次幂，最低次幂是不进行加法运算的位数 for(i=0;i<len;i++) { if(i<k) ta=0;//k为a左侧需要补零的个数，a左侧补零 else ta=pa->s[i-k];//i=k时，补零结束，从a数组中第0位开始去数字 if(i<pb->l) tb=pb->s[i];//从b数组中第0位开始取数字 else tb=0;//b数字先取完，b右侧补零 if(i>=pa->l+k)///a数字先取完，a右侧补零 ta=0; ans->s[i]=(ta+tb+cc)%10; cc=(ta+tb+cc)/10; } if(cc) ans->s[i++]=cc;//有进位，则存入数组末位 ans->l=i; } |
3.完整代码
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 | #include<stdlib.h> #include<cstring> #include<iostream> using namespace std; //定义结构体 #define M 100 char sa[1000]; char sb[1000]; typedef struct _Node { int s[M];//数组，倒序存储大数 int l; int c; }Node, *pNode; //划分函数 void cp(pNode src, pNode des, int st, int l) { //src表示待分解的数的结点，des表示分解后得到的数结点 //st表示从src结点数组中取数的开始位置，l表示取数长度 int i, j; for (i = st, j = 0; i<st + l; i++, j++) { des->s[j] = src->s[i];//从src节点数组中st位置开始取l个数 } des->l = l; des->c = st + src->c;//des次幂等于开始取数的位置加上src次幂。 } //相加 void add(pNode pa, pNode pb, pNode ans) { //程序调用时把a、b的地址传递给pa、pb参数，表示待合并的两个数 //ans记录结果 int i, cc, k, palen, pblen, len; int ta, tb; pNode temp; if ((pa->c)<(pb->c))//交换保证a的次幂大 { temp = pa; pa = pb; pb = temp; } ans->c = pb->c;//结果的次幂为两个数中较小数的次幂 cc = 0;//初始化进位为0 k = pa->c - pb->c;//k为a左侧需要补零的个数 palen = pa->l + pa->c;//a数加上次幂的总长度 pblen = pb->l + pb->c;//b数加上次幂的总长度 if (palen>pblen) len = palen; else len = pblen; for (i = 0; i<len - ans->c; i++) //结果的长度最长为pa，pb之中的最大长度减去最低次幂 { if (i<k) ta = 0; else ta = pa->s[i - k];//次幂高的补0，大于低的长度后与0进行计算 if (i<pb->l) tb = pb->s[i]; else tb = 0; if (i >= pa->l + k) ta = 0; ans->s[i] = (ta + tb + cc) % 10; cc = (ta + tb + cc) / 10; } if (cc) ans->s[i++] = cc; ans->l = i; } void mul(pNode pa, pNode pb, pNode ans) { int i, cc, w; int ma = pa->l >> 1, mb = pb->l >> 1; //长度除2 Node ah, al, bh, bl; Node t1, t2, t3, t4, z; pNode temp; if (!ma || !mb) //如果其中个数为1 { if (!ma) //如果a串的长度为1，pa,pb交换，pa的长度大于等于pb的长度 { temp = pa; pa = pb; pb = temp; } ans->c = pa->c + pb->c; w = pb->s[0]; cc = 0; //此时的进位为c for (i = 0; i < pa->l; i++) { ans->s[i] = (w*pa->s[i] + cc) % 10; cc = (w*pa->s[i] + cc) / 10; } if (cc) ans->s[i++] = cc; //如果到最后还有进位，则存入结果 ans->l = i; //记录结果的长度 return; } //分治的核心 cp(pa, &ah, ma, pa->l - ma); //先分成4部分al,ah,bl,bh cp(pa, &al, 0, ma); cp(pb, &bh, mb, pb->l - mb); cp(pb, &bl, 0, mb); mul(&ah, &bh, &t1); //分成4部分相乘 mul(&ah, &bl, &t2); mul(&al, &bh, &t3); mul(&al, &bl, &t4); add(&t3, &t4, ans); add(&t2, ans, &z); add(&t1, &z, ans); } int main() { Node ans, a, b; cout << "输入大整数 a:" << endl; cin >> sa; cout << "输入大整数 b:" << endl; cin >> sb; a.l = strlen(sa);//sa,sb以字符串进行处理 b.l = strlen(sb); int z = 0, i; for (i = a.l - 1; i >= 0; i--) a.s[z++] = sa[i] - '0'; //倒向存储 a.c = 0; z = 0; for (i = b.l - 1; i >= 0; i--) b.s[z++] = sb[i] - '0'; b.c = 0; mul(&a, &b, &ans); cout << "最终结果为："; for (i = ans.l - 1; i >= 0; i--) cout << ans.s[i]; //ans用来存储结果，倒向存储 cout << endl; system("pause"); return 0; } |
4.复杂度分析
递推可得，T(n)=4x(Tn/2x)+(2x-1)O(n)。地推最终规模为1，令n=2x，则x=logn，那么有：
T(n)=n2
