大整数乘法

1.算法原理

如果我们想要计算两个较大的数字相乘的时候，由于计算机硬件限制可能无法计算，因此我们可以将每个乘数用加法和乘法做分解，当分解到每个因子只是一位数的时候，乘法就很简单了，这也是一种分治法。

（1）分解：首先将2个大整数a（n位）、b（m位）分解为两部分：

ahal bhbl

然后，

其中ah、al为n/2位，bh、bl为m/2位。两个大整数a、b相乘转换成了4个乘法运算，而乘数的位数变为了原来的一半。

（2）求解子问题。继续分解每个乘法运算，直到分解有一个乘数为1位数时停止分解，进行乘法运算并记录结果。

（3）合并。将计算出的结果相加并回溯，求出最终结果。

2.算法设计

（1）数据结构。将两个大数以字符串的形式输入，然后定义结构体Node，其中s[]数组用于存储大数，注意是倒序存储！（因为乘法加法运算中有可能出现进位，倒序存储时可以让进位存储在数组的末尾）。l表示长度，c表示幂次。两个大叔的初始次幂是0.如下所示：

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char sa[1000];
 
char sb[1000];
 
typedef struct _Node
 
{
 
       int s[M];//数组，倒序存储大数
 
       int l;
 
       int c;
 
}Node, *pNode;

 

（2）划分函数。其中，cp()函数用于将一个n位的数分成两个n/2的数并存储，记录它的次幂和长度。

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void cp(pNode src, pNode des, int st, int l)
 
{
 
       //src表示待分解的数的结点，des表示分解后得到的数结点
 
       //st表示从src结点数组中取数的开始位置，l表示取数长度
 
       int i, j;
 
       for (i = st, j = 0; i<st + l; i++, j++)
 
       {
 
              des->s[j] = src->s[i];//从src节点数组中st位置开始取l个数
 
       }
 
       des->l = l;
 
       des->c = st + src->c;//des次幂等于开始取数的位置加上src次幂。
 
}

 

（3）乘法运算。定义的mul()函数用于将两个数进行相乘，不断进行分解，直到有一个乘数为1位时停止，让这两个数相乘，并记录结果回溯。

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ma = pa->l/2;//表示a长度的一半
 
mb = pb->l/2;//表示b长度的一半
 
if(!ma || !mb)//如果!ma说明ma=0，即a的长度为1，该乘数为1位数，同理对mb也是
 
{
 
       if(!ma)//!ma说明a为1位数，a/b交换，保证a的长度大于b的长度
 
       {
 
              temp=pa;
 
              pa=pb;
 
              pb=temp;//交换后b的长度为1
 
       }
 
       ans->c = pa->c +pb->c;
 
       w=pb->s[0];//交换后b长度为1，用w记录即可
 
       cc=0;//初始化进位为0
 
       for(i=0;i<pa->;i++)
 
       {//把a中的数依次取出与w相乘，记录结果和进位
 
              ans->s[i]=(w*pa->s[i]+cc)%10;//存储相乘结果的个位，十位做进位处理
 
              cc=(w*pa->s[i]+cc)/10;//处理进位
 
       }
 
}
 
if(cc)
 
       ans->s[i++]=cc;
 
ans->l=i;

 

（4）合并函数

add()函数将分解得到的数进行相加合并。

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void add(pNode pa, pNode pb, pNode ans)
 
{
 
       //程序调用时把a、b的地址传递给pa、pb参数，表示待合并的两个数
 
       //ans记录结果
 
       int i,cc,k,alen,blen,len;
 
       int ta,tb;
 
       pNode temp;
 
       if(pa->c <pb->c)//交换保证a的次幂大
 
       {
 
              temp=pa;
 
              pa=pb;
 
              pb=temp;
 
       }
 
       ans->c=pb->c;//结果的次幂为两个数中较小数的次幂
 
       cc=0;//初始化进位为0
 
       k=pa->c-pb->c;//k为a左侧需要补零的个数
 
       alen = pa->l + pa->c;//a数加上次幂的总长度
 
       blen = pb->l + pb->c;//b数加上次幂的总长度
 
       if(alen>blen)
 
              len=alen;
 
       else
 
              len=blen;
 
       len=len-pb->c;//结果的长度为a/b之中的最大值减去最低次幂，最低次幂是不进行加法运算的位数
 
       for(i=0;i<len;i++)
 
       {
 
              if(i<k)
 
                     ta=0;//k为a左侧需要补零的个数，a左侧补零
 
              else
 
                     ta=pa->s[i-k];//i=k时，补零结束，从a数组中第0位开始去数字
 
              if(i<pb->l)
 
                     tb=pb->s[i];//从b数组中第0位开始取数字
 
              else
 
                     tb=0;//b数字先取完，b右侧补零
 
              if(i>=pa->l+k)///a数字先取完，a右侧补零
 
                     ta=0;
 
              ans->s[i]=(ta+tb+cc)%10;
 
              cc=(ta+tb+cc)/10;
 
       }
 
       if(cc)
 
              ans->s[i++]=cc;//有进位，则存入数组末位
 
       ans->l=i;
 
 
 
}

 

3.完整代码

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#include<stdlib.h>
 
#include<cstring>
 
#include<iostream>
 
using namespace std;
 
//定义结构体
 
#define M 100
 
char sa[1000];
 
char sb[1000];
 
typedef struct _Node
 
{
 
       int s[M];//数组，倒序存储大数
 
       int l;
 
       int c;
 
}Node, *pNode;
 
//划分函数
 
void cp(pNode src, pNode des, int st, int l)
 
{
 
       //src表示待分解的数的结点，des表示分解后得到的数结点
 
       //st表示从src结点数组中取数的开始位置，l表示取数长度
 
       int i, j;
 
       for (i = st, j = 0; i<st + l; i++, j++)
 
       {
 
              des->s[j] = src->s[i];//从src节点数组中st位置开始取l个数
 
       }
 
       des->l = l;
 
       des->c = st + src->c;//des次幂等于开始取数的位置加上src次幂。
 
}
 
//相加
 
void add(pNode pa, pNode pb, pNode ans)
 
{
 
       //程序调用时把a、b的地址传递给pa、pb参数，表示待合并的两个数
 
       //ans记录结果
 
       int i, cc, k, palen, pblen, len;
 
       int ta, tb;
 
       pNode temp;
 
       if ((pa->c)<(pb->c))//交换保证a的次幂大
 
       {
 
              temp = pa;
 
              pa = pb;
 
              pb = temp;
 
       }
 
       ans->c = pb->c;//结果的次幂为两个数中较小数的次幂
 
       cc = 0;//初始化进位为0
 
       k = pa->c - pb->c;//k为a左侧需要补零的个数
 
       palen = pa->l + pa->c;//a数加上次幂的总长度
 
       pblen = pb->l + pb->c;//b数加上次幂的总长度
 
       if (palen>pblen)
 
              len = palen;
 
       else
 
              len = pblen;
 
       for (i = 0; i<len - ans->c; i++) //结果的长度最长为pa，pb之中的最大长度减去最低次幂
 
       {
 
              if (i<k)
 
                     ta = 0;
 
              else
 
                     ta = pa->s[i - k];//次幂高的补0，大于低的长度后与0进行计算
 
              if (i<pb->l)
 
                     tb = pb->s[i];
 
              else
 
                     tb = 0;
 
              if (i >= pa->l + k)
 
                     ta = 0;
 
              ans->s[i] = (ta + tb + cc) % 10;
 
              cc = (ta + tb + cc) / 10;
 
       }
 
       if (cc)
 
              ans->s[i++] = cc;
 
       ans->l = i;
 
 
 
}
 
 
 
void mul(pNode pa, pNode pb, pNode ans)
 
{
 
       int i, cc, w;
 
       int ma = pa->l >> 1, mb = pb->l >> 1; //长度除2
 
       Node ah, al, bh, bl;
 
       Node t1, t2, t3, t4, z;
 
       pNode temp;
 
 
 
       if (!ma || !mb) //如果其中个数为1
 
       {
 
              if (!ma)   //如果a串的长度为1，pa,pb交换，pa的长度大于等于pb的长度
 
              {
 
                     temp = pa;
 
                     pa = pb;
 
                     pb = temp;
 
              }
 
              ans->c = pa->c + pb->c;
 
              w = pb->s[0];
 
              cc = 0;     //此时的进位为c
 
              for (i = 0; i < pa->l; i++)
 
              {
 
                     ans->s[i] = (w*pa->s[i] + cc) % 10;
 
                     cc = (w*pa->s[i] + cc) / 10;
 
              }
 
              if (cc)
 
                     ans->s[i++] = cc; //如果到最后还有进位，则存入结果
 
              ans->l = i;          //记录结果的长度
 
              return;
 
       }
 
       //分治的核心
 
       cp(pa, &ah, ma, pa->l - ma);  //先分成4部分al,ah,bl,bh
 
       cp(pa, &al, 0, ma);
 
       cp(pb, &bh, mb, pb->l - mb);
 
       cp(pb, &bl, 0, mb);
 
 
 
       mul(&ah, &bh, &t1);     //分成4部分相乘
 
       mul(&ah, &bl, &t2);
 
       mul(&al, &bh, &t3);
 
       mul(&al, &bl, &t4);
 
 
 
       add(&t3, &t4, ans);
 
       add(&t2, ans, &z);
 
       add(&t1, &z, ans);
 
}
 
 
 
int main()
 
{
 
       Node ans, a, b;
 
       cout << "输入大整数 a:" << endl;
 
       cin >> sa;
 
       cout << "输入大整数 b:" << endl;
 
       cin >> sb;
 
       a.l = strlen(sa);//sa,sb以字符串进行处理
 
       b.l = strlen(sb);
 
       int z = 0, i;
 
       for (i = a.l - 1; i >= 0; i--)
 
              a.s[z++] = sa[i] - '0';             //倒向存储
 
       a.c = 0;
 
       z = 0;
 
       for (i = b.l - 1; i >= 0; i--)
 
              b.s[z++] = sb[i] - '0';
 
       b.c = 0;
 
       mul(&a, &b, &ans);
 
       cout << "最终结果为：";
 
       for (i = ans.l - 1; i >= 0; i--)
 
              cout << ans.s[i];         //ans用来存储结果，倒向存储
 
       cout << endl;
 
       system("pause");
 
       return 0;
 
}

 

4.复杂度分析

递推可得，T(n)=4x(Tn/2x)+(2x-1)O(n)。地推最终规模为1，令n=2x，则x=logn，那么有：

T(n)=n2