小奥的学习笔记

  • Home
  • Learning & Working
    • Speech Enhancement Notes
    • Programming language
    • Computer & DL
    • MOOC
  • Life
    • Life Time
    • Thinking & Comprehension
    • Volunteer
    • Plan
    • Travel
  • Footprints
  • GuestBook
  • About
    • About Me
    • 个人履历
    • 隐私策略
  1. 首页
  2. Study-notes
  3. Programming language
  4. Algorithm
  5. 正文

算法学习(2):分治法(下)

2018年12月7日 1023点热度 0人点赞 0条评论

大整数乘法

1.算法原理

如果我们想要计算两个较大的数字相乘的时候,由于计算机硬件限制可能无法计算,因此我们可以将每个乘数用加法和乘法做分解,当分解到每个因子只是一位数的时候,乘法就很简单了,这也是一种分治法。

(1)分解:首先将2个大整数a(n位)、b(m位)分解为两部分:

ah al   bh bl

然后,

其中ah、al为n/2位,bh、bl为m/2位。两个大整数a、b相乘转换成了4个乘法运算,而乘数的位数变为了原来的一半。

(2)求解子问题。继续分解每个乘法运算,直到分解有一个乘数为1位数时停止分解,进行乘法运算并记录结果。

(3)合并。将计算出的结果相加并回溯,求出最终结果。

2.算法设计

(1)数据结构。将两个大数以字符串的形式输入,然后定义结构体Node,其中s[]数组用于存储大数,注意是倒序存储!(因为乘法加法运算中有可能出现进位,倒序存储时可以让进位存储在数组的末尾)。l表示长度,c表示幂次。两个大叔的初始次幂是0.如下所示:

char sa[1000];

char sb[1000];

typedef struct _Node

{

       int s[M];//数组,倒序存储大数

       int l;

       int c;

}Node, *pNode;

 

(2)划分函数。其中,cp()函数用于将一个n位的数分成两个n/2的数并存储,记录它的次幂和长度。

void cp(pNode src, pNode des, int st, int l)

{

       //src表示待分解的数的结点,des表示分解后得到的数结点

       //st表示从src结点数组中取数的开始位置,l表示取数长度

       int i, j;

       for (i = st, j = 0; i<st + l; i++, j++)

       {

              des->s[j] = src->s[i];//从src节点数组中st位置开始取l个数

       }

       des->l = l;

       des->c = st + src->c;//des次幂等于开始取数的位置加上src次幂。

}

 

(3)乘法运算。定义的mul()函数用于将两个数进行相乘,不断进行分解,直到有一个乘数为1位时停止,让这两个数相乘,并记录结果回溯。

ma = pa->l/2;//表示a长度的一半

mb = pb->l/2;//表示b长度的一半

if(!ma || !mb)//如果!ma说明ma=0,即a的长度为1,该乘数为1位数,同理对mb也是

{

       if(!ma)//!ma说明a为1位数,a/b交换,保证a的长度大于b的长度

       {

              temp=pa;

              pa=pb;

              pb=temp;//交换后b的长度为1

       }

       ans->c = pa->c +pb->c;

       w=pb->s[0];//交换后b长度为1,用w记录即可

       cc=0;//初始化进位为0

       for(i=0;i<pa->;i++)

       {//把a中的数依次取出与w相乘,记录结果和进位

              ans->s[i]=(w*pa->s[i]+cc)%10;//存储相乘结果的个位,十位做进位处理

              cc=(w*pa->s[i]+cc)/10;//处理进位

       }

}

if(cc)

       ans->s[i++]=cc;

ans->l=i;

 

(4)合并函数

add()函数将分解得到的数进行相加合并。

void add(pNode pa, pNode pb, pNode ans)

{

       //程序调用时把a、b的地址传递给pa、pb参数,表示待合并的两个数

       //ans记录结果

       int i,cc,k,alen,blen,len;

       int ta,tb;

       pNode temp;

       if(pa->c <pb->c)//交换保证a的次幂大

       {

              temp=pa;

              pa=pb;

              pb=temp;

       }

       ans->c=pb->c;//结果的次幂为两个数中较小数的次幂

       cc=0;//初始化进位为0

       k=pa->c-pb->c;//k为a左侧需要补零的个数

       alen = pa->l + pa->c;//a数加上次幂的总长度

       blen = pb->l + pb->c;//b数加上次幂的总长度

       if(alen>blen)

              len=alen;

       else

              len=blen;

       len=len-pb->c;//结果的长度为a/b之中的最大值减去最低次幂,最低次幂是不进行加法运算的位数

       for(i=0;i<len;i++)

       {

              if(i<k)

                     ta=0;//k为a左侧需要补零的个数,a左侧补零

              else

                     ta=pa->s[i-k];//i=k时,补零结束,从a数组中第0位开始去数字

              if(i<pb->l)

                     tb=pb->s[i];//从b数组中第0位开始取数字

              else

                     tb=0;//b数字先取完,b右侧补零

              if(i>=pa->l+k)///a数字先取完,a右侧补零

                     ta=0;

              ans->s[i]=(ta+tb+cc)%10;

              cc=(ta+tb+cc)/10;

       }

       if(cc)

              ans->s[i++]=cc;//有进位,则存入数组末位

       ans->l=i;



}

 

3.完整代码

#include<stdlib.h>

#include<cstring>

#include<iostream>

using namespace std;

//定义结构体

#define M 100

char sa[1000];

char sb[1000];

typedef struct _Node

{

       int s[M];//数组,倒序存储大数

       int l;

       int c;

}Node, *pNode;

//划分函数

void cp(pNode src, pNode des, int st, int l)

{

       //src表示待分解的数的结点,des表示分解后得到的数结点

       //st表示从src结点数组中取数的开始位置,l表示取数长度

       int i, j;

       for (i = st, j = 0; i<st + l; i++, j++)

       {

              des->s[j] = src->s[i];//从src节点数组中st位置开始取l个数

       }

       des->l = l;

       des->c = st + src->c;//des次幂等于开始取数的位置加上src次幂。

}

//相加

void add(pNode pa, pNode pb, pNode ans)

{

       //程序调用时把a、b的地址传递给pa、pb参数,表示待合并的两个数

       //ans记录结果

       int i, cc, k, palen, pblen, len;

       int ta, tb;

       pNode temp;

       if ((pa->c)<(pb->c))//交换保证a的次幂大

       {

              temp = pa;

              pa = pb;

              pb = temp;

       }

       ans->c = pb->c;//结果的次幂为两个数中较小数的次幂

       cc = 0;//初始化进位为0

       k = pa->c - pb->c;//k为a左侧需要补零的个数

       palen = pa->l + pa->c;//a数加上次幂的总长度

       pblen = pb->l + pb->c;//b数加上次幂的总长度

       if (palen>pblen)

              len = palen;

       else

              len = pblen;

       for (i = 0; i<len - ans->c; i++) //结果的长度最长为pa,pb之中的最大长度减去最低次幂

       {

              if (i<k)

                     ta = 0;

              else

                     ta = pa->s[i - k];//次幂高的补0,大于低的长度后与0进行计算

              if (i<pb->l)

                     tb = pb->s[i];

              else

                     tb = 0;

              if (i >= pa->l + k)

                     ta = 0;

              ans->s[i] = (ta + tb + cc) % 10;

              cc = (ta + tb + cc) / 10;

       }

       if (cc)

              ans->s[i++] = cc;

       ans->l = i;



}



void mul(pNode pa, pNode pb, pNode ans)

{

       int i, cc, w;

       int ma = pa->l >> 1, mb = pb->l >> 1; //长度除2

       Node ah, al, bh, bl;

       Node t1, t2, t3, t4, z;

       pNode temp;



       if (!ma || !mb) //如果其中个数为1

       {

              if (!ma)   //如果a串的长度为1,pa,pb交换,pa的长度大于等于pb的长度

              {

                     temp = pa;

                     pa = pb;

                     pb = temp;

              }

              ans->c = pa->c + pb->c;

              w = pb->s[0];

              cc = 0;     //此时的进位为c

              for (i = 0; i < pa->l; i++)

              {

                     ans->s[i] = (w*pa->s[i] + cc) % 10;

                     cc = (w*pa->s[i] + cc) / 10;

              }

              if (cc)

                     ans->s[i++] = cc; //如果到最后还有进位,则存入结果

              ans->l = i;          //记录结果的长度

              return;

       }

       //分治的核心

       cp(pa, &ah, ma, pa->l - ma);  //先分成4部分al,ah,bl,bh

       cp(pa, &al, 0, ma);

       cp(pb, &bh, mb, pb->l - mb);

       cp(pb, &bl, 0, mb);



       mul(&ah, &bh, &t1);     //分成4部分相乘

       mul(&ah, &bl, &t2);

       mul(&al, &bh, &t3);

       mul(&al, &bl, &t4);



       add(&t3, &t4, ans);

       add(&t2, ans, &z);

       add(&t1, &z, ans);

}



int main()

{

       Node ans, a, b;

       cout << "输入大整数 a:" << endl;

       cin >> sa;

       cout << "输入大整数 b:" << endl;

       cin >> sb;

       a.l = strlen(sa);//sa,sb以字符串进行处理

       b.l = strlen(sb);

       int z = 0, i;

       for (i = a.l - 1; i >= 0; i--)

              a.s[z++] = sa[i] - '0';             //倒向存储

       a.c = 0;

       z = 0;

       for (i = b.l - 1; i >= 0; i--)

              b.s[z++] = sb[i] - '0';

       b.c = 0;

       mul(&a, &b, &ans);

       cout << "最终结果为:";

       for (i = ans.l - 1; i >= 0; i--)

              cout << ans.s[i];         //ans用来存储结果,倒向存储

       cout << endl;

       system("pause");

       return 0;

}

 

4.复杂度分析

递推可得,T(n)=4x(Tn/2x)+(2x-1)O(n)。地推最终规模为1,令n=2x,则x=logn,那么有:

T(n)=n2

本作品采用 知识共享署名 4.0 国际许可协议 进行许可
标签: 分治法 大整数乘法
最后更新:2018年12月7日

davidcheung

这个人很懒,什么都没留下

打赏 点赞
< 上一篇
下一篇 >

文章评论

razz evil exclaim smile redface biggrin eek confused idea lol mad twisted rolleyes wink cool arrow neutral cry mrgreen drooling persevering
取消回复

搜索
欢迎关注我的个人公众号
最新 热点 随机
最新 热点 随机
DEEPFILTERNET:一种基于深度滤波的全频带音频低复杂度语音增强框架 奥地利匈牙利九日游旅程 论文阅读之Study of the General Kalman Filter for Echo Cancellation 小奥看房之鸿荣源珈誉府 杭州往返旅途及西溪喜来登和万怡的体验报告 2022年的第一篇碎碎念
奥地利匈牙利九日游旅程论文阅读之Study of the General Kalman Filter for Echo CancellationDEEPFILTERNET:一种基于深度滤波的全频带音频低复杂度语音增强框架
Java语言程序设计【学堂在线】(第三章)整理 Happy Birthday to Myself 《Python语言程序设计基础》课后习题程序整理(第5~7章) 后天就是我生日咯! 小花豆生活第20天:青春奉献季,志愿服务行 课上阅读材料有感
标签聚合
生活 linux Java 高中 Python 学习 鸟哥的linux私房菜 算法 python学习 leetcode
最近评论
davidcheung 发布于 5 个月前(02月09日) The problem has been fixed. May I ask if you can s...
tk88 发布于 5 个月前(02月07日) Hmm is anyone else having problems with the pictur...
cuicui 发布于 9 个月前(10月20日) :wink:
niming 发布于 10 个月前(09月19日) 同级校友,能刷到太巧了
davidcheung 发布于 2 年前(08月16日) 我得找一下我之前整理的word文档看一下,如果找到了我就更新一下这篇文章。
Nolan 发布于 2 年前(07月25日) 您的笔记非常有帮助。贴图不显示了,可以更新一下吗?
davidcheung 发布于 3 年前(06月19日) 到没有看webrtc的代码。现在主要在看我们公司的代码了。。。只是偶尔看一看webrtc的东西。。。
aobai 发布于 3 年前(03月13日) gain_change_hangover_ 应该是每三个block 只能够调整一次,这样保证每帧...
匿名 发布于 5 年前(12月30日) 烫
小奥 发布于 5 年前(12月12日) webRTC里面的NS本身我记得就是在C++里面呀

COPYRIGHT © 2025 小奥的学习笔记. ALL RIGHTS RESERVED.

Theme Kratos Made By Seaton Jiang

陕ICP备19003234号-1

鲁公网安备37120202000100号